Comment simplifier les fractions algébriques?
Pour simplifier les fractions algébriques, commencez par factoriser autant de nombres que possible pour le numérateur, qui est la partie supérieure de la fraction. Ensuite, trouvez un facteur commun dans le dénominateur, qui est la partie inférieure de la fraction, en cherchant un nombre qui peut se diviser en deux parties. Ensuite, prenez tous les termes qui sont à la fois au numérateur et au dénominateur et supprimez-les. Lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs en haut ou en bas, la fraction est simplifiée! Pour plus de conseils sur l'affacturage, lisez la suite!
Heureusement cependant, les mêmes règles nécessaires pour simplifier les fractions régulières, comme 12,55, s'appliquent toujours aux fractions algébriques.
Les fractions algébriques semblent incroyablement difficiles au début et peuvent sembler intimidantes à aborder pour l'étudiant non formé. Avec un mélange de variables, de nombres et même d'exposants, il est difficile de savoir par où commencer. Heureusement cependant, les mêmes règles nécessaires pour simplifier les fractions régulières, comme 12,55, s'appliquent toujours aux fractions algébriques.
Méthode 1 sur 3: simplifier les fractions
- 1Connaître le vocabulaire des fractions algébriques. Les termes suivants seront utilisés tout au long des exemples et sont courants dans les problèmes impliquant des fractions algébriques:
- Numérateur: La partie supérieure d'une fraction (c'est-à-dire (x+5) /(2x+3)).
- Dénominateur: La partie inférieure de la fraction (c.-à-d. (x+5)/ (2x+3)).
- Dénominateur commun: il s'agit d'un nombre que vous pouvez diviser à la fois en haut et en bas d'une fraction. Par exemple, dans la fraction 0,33, le dénominateur commun est 3, puisque les deux nombres peuvent être divisés par 3.
- Facteur: Un nombre qui se multiplie pour en faire un autre. Par exemple, les facteurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15. Les facteurs de 4 sont 1, 2 et 4.
- Équation simplifiée: cela implique de supprimer tous les facteurs communs et de regrouper les variables similaires (5x + x = 6x) jusqu'à ce que vous ayez la forme la plus basique d'une fraction, d'une équation ou d'un problème. Si vous ne pouvez rien faire de plus à la fraction, elle est simplifiée.
- 2Revoyez comment résoudre des fractions simples. Ce sont exactement les mêmes étapes que vous suivrez pour résoudre des fractions algébriques. Prenons l'exemple 11 675. Afin de simplifier une fraction, nous devons trouver un dénominateur commun. Dans ce cas, les deux nombres peuvent être divisés par cinq, vous pouvez donc supprimer le 5 de la fraction:
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7
Maintenant, vous pouvez rayer des termes similaires. Dans ce cas, vous pouvez rayer les deux cinq en laissant votre réponse simplifiée, 0,43. - 3Supprimez les facteurs des expressions algébriques tout comme les nombres normaux. Dans l'exemple précédent, vous pouvez facilement supprimer le 5 de 15, et le même principe s'applique à des expressions plus complexes telles que 15x - 5. Trouvez un facteur que les deux nombres ont en commun. Ici, la réponse est 5, puisque vous pouvez diviser à la fois 15x et -5 par le nombre cinq. Comme avant, supprimez le facteur commun et multipliez-le par ce qui est "reste".
15x - 5 = 5 * (3x - 1) Pour vérifier votre travail, multipliez simplement les cinq dans la nouvelle expression - vous vous retrouverez avec les mêmes nombres que ceux avec lesquels vous avez commencé.
La meilleure façon d'apprendre est de continuer à essayer de simplifier les fractions algébriques. - 4Sachez que vous pouvez supprimer des termes complexes comme des termes simples. Le même principe utilisé dans les fractions communes fonctionne également pour les fractions algébriques. C'est le moyen le plus simple de simplifier les fractions pendant que vous travaillez. Prenez la fraction:
(x+2)(x-3)
(x+2)(x+10)
Remarquez comment le terme (x+2) est commun au numérateur (en haut) et au dénominateur (en bas). En tant que tel, vous pouvez le supprimer pour simplifier la fraction algébrique, tout comme vous avez supprimé le 5 de 11 675:(x+2)(x-3) → (x-3)(x+2)(x+10) → (x+10)
Méthode 2 sur 3: simplifier les fractions algébriques
- 1Trouvez un facteur commun dans le numérateur ou la partie supérieure de la fraction. La première chose à faire lors de la simplification d'une fraction algébrique est de simplifier chaque partie de la fraction. Commencez par la partie supérieure, en factorisant autant de nombres que possible. Par exemple, cette section utilisera le problème:
9x-3
15x+6
Commencez par le numérateur: 9x - 3. Il y a un facteur commun à 9x et à -3: 3. Factorisez le 3 comme vous le feriez avec n'importe quel autre nombre, vous laissant avec 3 * (3x-1). Voici votre nouveau numérateur:3(3x-1)
15x+6 - 2Trouvez un facteur commun au dénominateur. En reprenant l'exemple ci-dessus, isolez le dénominateur, 15x+6. Encore une fois, recherchez un nombre qui peut se diviser en deux parties. Ici, vous pouvez à nouveau factoriser un 3, vous laissant avec 3 * (5x +2). Écrivez votre nouveau dénominateur:
3(3x-1)
3(5x+2) - 3Supprimez les termes similaires. C'est l'étape où vous arrivez vraiment à simplifier la fraction. Prenez tous les termes qui sont à la fois au numérateur et au dénominateur et supprimez-les. Dans ce cas, nous pouvons supprimer les 3 du haut et du bas.
3(3x-1) → (3x-1)3(5x+2) → (5x+2)
En tant que tel, vous pouvez le supprimer pour simplifier la fraction algébrique, tout comme vous avez supprimé le 5 de 11 675. - 4Sachez quand l'équation est entièrement simplifiée. Une fraction est simplifiée lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs en haut ou en bas. N'oubliez pas que vous ne pouvez pas supprimer les facteurs à l'intérieur de la parenthèse - dans l'exemple de problème, vous ne pouvez pas extraire le x de 3x et 5x, car les termes complets sont en fait (3x -1) et (5x + 2). Ainsi, l'exemple est entièrement simplifié, rendant la réponse finale:
(3x-1)
(5x+2) - 5Essayez un problème de pratique. La meilleure façon d'apprendre est de continuer à essayer de simplifier les fractions algébriques. Les réponses sont sous les problèmes.
4(x+2)(x-13) Réponse: (x=13)
(4x+8)2x 2 -x Réponse: (2x-1)/5
5x
Méthode 3 sur 3: astuces pour les problèmes difficiles
- 1"Inverser" les parties de la fraction en factorisant les nombres négatifs. Par exemple, disons que nous avons l'équation:
3(x-4)
5(4-x)
Remarquez comment (x-4) et (4-x) sont ''presque'' identiques, mais vous ne pouvez pas les rayer car ils sont inversés. Cependant, (x - 4) peut être écrit comme -1 * (4 - x) de la même manière que vous réécrivez (4 + 2x) comme 2 * (2 + x). C'est ce qu'on appelle «l'affacturage du négatif».-1 * 3(4-x)
5(4-x)
Maintenant, nous pouvons facilement supprimer les deux identiques (4-x):-1 * 3 (4-x)
5(4-x)
Nous laissant avec notre réponse finale -0,6 - 2Reconnaître la différence de deux carrés lorsque vous travaillez. La différence de deux carrés est simplement un nombre au carré soustrait par un autre, comme l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits se simplifie toujours en deux parties, en ajoutant et en soustrayant les racines carrées. Dans tous les cas, vous pouvez simplifier la différence de carré parfait comme suit:
a 2 - b 2 = (a+b)(ab) Cela peut être incroyablement utile lorsque vous essayez de trouver des termes similaires dans des fractions algébriques.- Exemple: x 2 - 25 = (x+5)(x-5)
Pour simplifier les fractions algébriques, commencez par factoriser autant de nombres que possible pour le numérateur, qui est la partie supérieure de la fraction. - 3Simplifiez toutes les expressions polynomiales. Les polynômes sont des expressions algébriques complexes avec plus de deux termes, comme x 2 + 4x + 3. Heureusement, de nombreux polynômes peuvent être simplifiés en utilisant la factorisation polynomiale. L'expression précédente, par exemple, peut être réécrite sous la forme (x+3)(x+1).
- 4N'oubliez pas que les variables peuvent également être factorisées. Ceci est particulièrement utile dans les expressions avec des exposants, comme x 4 + x 2. Vous pouvez supprimer le plus grand exposant en tant que facteur. Dans ce cas, x 4 + x 2 = x 2 (x 2 + 1).
- Vérifiez votre travail lors de la factorisation en multipliant le facteur dans l'équation - vous obtiendrez le même nombre avec lequel vous avez commencé.
- Prenez toujours en compte les plus grands nombres possibles pour simplifier complètement votre équation.
- Oubliez les lois des indices, et vous êtes de la viande morte. Par conséquent, insérez-les dans votre cerveau à tout prix.
Lisez aussi: Comment ajouter et simplifier des fractions?
Questions et réponses
- Et s'il y avait une question comme celle-ci: (1-y²) / (-y² - y + 2)?Commencez par simplifier un peu en factorisant (-1) à la fois au numérateur et au dénominateur: -(y²-1) / -(y²+y-2). Les (-1) s'annuleront et vous vous retrouverez avec (y²-1) / (y²+y-2). Numérateur et dénominateur du facteur: [(y+1)(y-1)] / [(y+2)(y-1)]. Les deux (y-1) s'annulent et la fraction finale est (y+1) / (y+2).
- Pourquoi ça marche exactement comme ça tout le temps?Parce que les propriétés de et les opérations avec des nombres ne changent jamais.
- Lors de la factorisation de fractions algébriques, comment savoir laquelle aura un signe plus ou moins? Par exemple, 12x^2 + 43x+ 35 / 6x^2 +5x - 21?C'est ce qu'on appelle la «résolution par inspection». En d'autres termes, il vous suffit de regarder ("inspecter") l'expression que vous factorisez et de choisir les signes plus et moins de sorte que les facteurs, lorsqu'ils sont multipliés ensemble, donnent l'expression d'origine. Dans l'exemple cité, 12x² + 43x +35 se divisent en (3x + 7) et (4x + 5). 6x² + 5x - 21 facteurs en (3x + 7) et (2x - 3). Dans chaque cas, les signes ont été choisis de manière à ce que la multiplication des facteurs entre eux aboutisse à l'expression originale. Dans ce cas, il y a un facteur de (3x + 7) à la fois au numérateur et au dénominateur, de sorte qu'ils s'annulent. L'expression finale simplifiée est (4x + 5) / (2x - 3).
