Comment factoriser la différence de deux carrés parfaits?

La méthode des différences de carrés est un moyen facile de factoriser un polynôme qui implique la soustraction de deux carrés parfaits. En utilisant la formule $A^{{2}}-b^{{2}}=(ab)(a+b)$ , il suffit de trouver la racine carrée de chaque carré parfait du polynôme, et substituer ces valeurs dans la formule. La méthode de la différence des carrés est un outil de base en algèbre que vous utiliserez probablement souvent lors de la résolution d'équations.

Partie 1 sur 3: évaluation du polynôme

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Identifiez le coefficient, la variable et le degré de chaque terme. Un coefficient est le nombre devant une variable, qui est multiplié par la variable. La variable est la valeur inconnue, généralement désignée par x{\displaystyle x} $X$ ou y{\displaystyle y} $Oui$ .. Le degré fait référence à l'exposant de la variable. Par exemple, un terme du deuxième degré a une valeur à la puissance seconde ( x2{\displaystyle x^{2}} $X^{{2}}$ ) et un terme du quatrième degré a une valeur à la puissance quatrième ( x4{\displaystyle x^{4} } $X^{{4}}$ ).
- Par exemple, dans le polynôme $36x^{{4}}-100x^{{2}}$ , les coefficients sont $36$ et $100$ , la variable est $X$ , et le premier terme ( $36x^{{4}}$ ) est un terme du quatrième degré, et le deuxième terme ( $100x^{{2}}$ ) est un terme du deuxième degré.
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Recherchez un plus grand facteur commun. Un plus grand facteur commun est le plus grand facteur qui se divise également en deux termes ou plus. S'il y a un facteur commun aux deux termes du polynôme, factorisez-le.
- Par exemple, les deux termes du polynôme $36x^{{4}}-100x^{{2}}$ ont un plus grand facteur commun de $4x^{{2}}$ . En tenant compte de cela, le problème devient $4x^{{2}}(9x^{{2}}-25)$ .
Les termes et sont les carrés parfaits de votre polynôme, et et sont les racines des carrés parfaits.
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Déterminez si les termes sont des carrés parfaits. Si vous avez exclu un plus grand facteur commun, vous ne regardez que les termes qui restent entre parenthèses. Un carré parfait est le résultat de la multiplication d'un nombre entier par lui-même. Une variable est un carré parfait si son exposant est un nombre pair. Vous ne pouvez factoriser en utilisant la différence des carrés que si chaque terme du polynôme est un carré parfait.
- Par exemple, $9x^{{2}}$ est un carré parfait, car $(3x)(3x)=9x^{{2}}$ . Le nombre $25$ est également un carré parfait, car $(5)(5)=25$ . Ainsi, vous pouvez factoriser $9x^{{2}}-25$ utilisant la formule de différence de carrés.
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Assurez-vous de trouver la différence. Vous savez que vous trouvez la différence si vous avez un polynôme qui soustrait un terme d'un autre. La différence de carrés ne s'applique qu'à ces polynômes, et non à ceux dans lesquels l'addition est utilisée.
- Par exemple, vous ne pouvez pas factoriser $9x^{{2}}+25$ utilisant la formule de différence de carrés, car dans ce polynôme vous trouvez une somme, pas une différence.

Partie 2 sur 3: utiliser la formule

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Établissez la formule de la différence des carrés. La formule est $A^{{2}}-b^{{2}}=(ab)(a+b)$ . Les termes $Un^{{2}}$ et $B^{{2}}$ sont les carrés parfaits dans votre polynôme, et $UNE$ et $B$ sont les racines du carrés parfaits.

Par exemple, vous ne pouvez pas factoriser en utilisant la formule de différence de carrés, car dans ce polynôme, vous trouvez une somme, pas une différence.
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Branchez le premier terme dans la formule. C'est la valeur de a{\displaystyle a} $UNE$ . Pour trouver cette valeur, prenez la racine carrée du premier carré parfait du polynôme. N'oubliez pas qu'une racine carrée d'un nombre est un facteur que vous multipliez par lui-même pour obtenir ce nombre.
- Par exemple, puisque $(3x)(3x)=9x^{{2}}$ , la racine carrée de $9x^{{2}}$ est $3x$ . Vous devez donc remplacer cette valeur par $UNE$ dans la formule de différence de carrés: $9x^{{2}}-25=(3x-b)(3x+b)$ .
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Branchez le deuxième terme dans la formule. Il s'agit de la valeur de b{\displaystyle b} $B$ , qui est la racine carrée du deuxième terme du polynôme.
- Par exemple, puisque $(5)(5)=25$ , la racine carrée de $25$ est $5$ . Vous devez donc remplacer cette valeur par $B$ dans la formule de différence de carrés: $9x^{{2}}-25=(3x-5)(3x+5)$ .
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Vérifie ton travail. Utilisez la méthode FOIL pour multiplier les deux facteurs. Si votre résultat est votre polynôme d'origine, vous savez que vous avez correctement factorisé.
- Par exemple:
  $(3x-5)(3x+5)$
  $=9x^{{2}}+15x-15x-25$
  $=9x^{{2}}-25$ .

Une variable est un carré parfait si son exposant est un nombre pair. Vous ne pouvez factoriser en utilisant la différence des carrés que si chaque terme du polynôme est un carré parfait.

Partie 3 sur 3: résoudre des problèmes de pratique

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Factorisez ce polynôme. Utilisez la formule de la différence de deux carrés: 36x4−9{\displaystyle 36x^{4}-9} $36x^{{4}}-9$ .
- Les termes n'ont pas de plus grand facteur commun, il n'est donc pas nécessaire de factoriser quoi que ce soit hors du polynôme.
- Le terme $36x^{{4}}$ est un carré parfait, puisque $(6x^{{2}})(6x^{{2}})=36x^{{4}}$ .
- Le terme $9$ est un carré parfait, puisque $(3)(3)=9$ .
- La formule de différence de carrés est $A^{{2}}-b^{{2}}=(ab)(a+b)$ . Ainsi, $36x^{{4}}-9=(ab)(a+b)$ , où $UNE$ et $B$ sont les racines carrées des carrés parfaits.
- La racine carrée de $36x^{{4}}$ est $6x^{{2}}$ . En vous $connectant$ pour $UNE$ vous avez $36x^{{4}}-9=(6x^{{2}}-b)(6x^{{2}}+b)$ .
- La racine carrée de $9$ est $3$ . Donc en branchant pour $B$ , vous avez $36x^{{4}}-9=(6x^{{2}}-3)(6x^{{2}}+3)$ .
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Essayez de factoriser ce polynôme. Assurez-vous de prendre en compte le plus grand facteur commun et utilisez la différence de deux carrés: 48x3−27x{\displaystyle 48x^{3}-27x} $48x^{{3}}-27x$ .
- Trouvez le plus grand facteur commun de chaque terme. Ce terme est $3x$ , donc $3x (16x^{{2}}-9)$ le compte du polynôme: $3x(16x2−9){\displaystyle 3x(16x^{2}-9)}$ .
- Le terme $16x^{{2}}$ est un carré parfait, puisque $(4x)(4x)=16x^{{2}}$ .
- Le terme $9$ est un carré parfait, puisque $(3)(3)=9$ .
- La formule de différence de carrés est $A^{{2}}-b^{{2}}=(ab)(a+b)$ . Ainsi, $48x^{{3}}-27x=3x(ab)(a+b)$ , où $UNE$ et $B$ sont les racines carrées des carrés parfaits.
- La racine carrée de $16x^{{2}}$ est $4x$ . En vous $connectant$ pour $UNE$ vous avez $48x^{{3}}-27x=3x(4x-b)(4x+b)$ .
- La racine carrée de $9$ est $3$ . Donc en branchant pour $B$ , vous avez $48x^{{3}}-27x=3x(4x-3)(4x+3)$ .
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Factoriser le polynôme suivant. Il a deux variables, mais il suit toujours les règles de la méthode de différence de carrés: 4x2−81y2{\displaystyle 4x^{2}-81y^{2}} $4x^{{2}}-81y^{{2}}$ .
- Aucun facteur n'est commun à chaque terme de ce polynôme, il n'y a donc rien à factoriser avant de commencer à factoriser la différence de carrés.
- Le terme $4x^{{2}}$ est un carré parfait, puisque $(2x)(2x)=4x^{{2}}$ .
- Le terme $81 ans^{{2}}$ est un carré parfait, puisque $(9a)(9a)=81a^{{2}}$ .
- La formule de différence de carrés est $A^{{2}}-b^{{2}}=(ab)(a+b)$ . Ainsi, $4x^{{2}}-81y^{{2}}=(ab)(a+b)$ , où $UNE$ et $B$ sont les racines carrées des carrés parfaits.
- La racine carrée de $4x^{{2}}$ est $2x$ . En vous $connectant$ pour $UNE$ vous avez $4x^{{2}}-81y^{{2}}=(2x-b)(2x+b)$ .
- La racine carrée de $81 ans^{{2}}$ est $9 ans$ . Donc en branchant pour $B$ , vous avez $4x^{{2}}-81y^{{2}}=(2x-9y)(2x+9y)$ .