Comment trouver la série de Fourier d'une fonction?

Soit une fonction continue par morceaux définie sur Alors la fonction peut être écrite en fonction de sa série de Fourier.

En analyse de Fourier, une série de Fourier est une méthode de représentation d'une fonction en termes de fonctions trigonométriques. Les séries de Fourier sont extrêmement importantes dans l'analyse du signal et dans l'étude des équations aux dérivées partielles, où elles apparaissent dans les solutions de l'équation de Laplace et de l'équation des ondes.

Préliminaires

Soit f(x){\displaystyle f(x)} $F(x)$ une fonction continue par morceaux définie sur [−L,L].{\displaystyle [-L,L].} $[-ll].$ Alors la fonction peut être écrite en termes de sa série de Fourier. On note que les sommes commencent par n=0,{\displaystyle n=0,} $N=0,$ mais parce que cos⁡0x=1{\displaystyle \cos 0x=1} $\cos 0x=1$ et sin⁡0x=0,{\displaystyle \sin 0x=0,} $\sin 0x=0,$ nous pouvons écrire le terme constant séparément et commencer les deux sommes par n=1.{\displaystyle n=1.} $N=1.$
- $F(x)={\frac {a_{{0}}}{2}}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left(a_{{n}}\cos { \frac {n\pi x}{l}}+b_{{n}}\sin {\frac {n\pi x}{l}}\right)$
Les coefficients an{\displaystyle a_{n}} $Un}}$ et bn{\displaystyle b_{n}} $B_{{n}}$ sont appelés coefficients de Fourier. Pour décomposer une fonction en sa série de Fourier, il faut trouver ces coefficients.
- Pour reconnaître ce qu'ils sont, nous écrivons la fonction f(x)=|f⟩{\displaystyle f(x)=|f\rangle } $F(x)=|f\rangle$ en termes de base gn.{\displaystyle g_{n}.} $G_{{n}}.$ Dans l'ordre pour que cette base soit utile, elle doit être orthonormée pour que sogn|gm⟩=δnm,{\displaystyle \langle g_{n}|g_{m}\rangle =\delta _{nm},} $\langle g_{{n}}|g_{{m}}\rangle =\delta _{{nm}},$ le delta de Kronecker qui est égal à 1{\displaystyle 1} $1$ si n=m{\displaystyle n=m} $N=m$ et 0{\displaystyle 0} ${\style d'affichage 0}$ sinon. L'expression ci-dessous signifie simplement que nous projetons f{\displaystyle f} $F$ sur gn.{\displaystyle g_{n}.} $G_{{n}}.$
  - $|f\rangle =\somme _{{n}}|g_{{n}}\rangle \langle g_{{n}}|f\rangle$
- Pour les fonctions définies sur l'intervalle [−L,L],{\displaystyle [-L,L],} $[-ll],$ nous définissons le produit interne suivant. Notez que ce produit interne est normalisé. Le symbole ∗{\displaystyle {}^{*}} ${}^{{*}}$ désigne le conjugué complexe.
  - $\langle g_{{n}}|f\rangle ={\frac {1}{l}}\int _{{-l}}^{{l}}g_{{n}}(x)^{{ *}}f(x){\mathrm {d}}x$
- Les fonctions cos⁡nπxL{\displaystyle \cos {\frac {n\pi x}{L}}} $\cos {\frac {n\pi x}{l}}$ et sin⁡nπxL{\displaystyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}} $\sin {\frac {n\pi x}{l}}$ constituent le Fourier base. Dans cet esprit, nous pouvons écrire les coefficients de Fourier ci-dessous. Quand on substitue f(x){\displaystyle f(x)} $F(x)$ par un élément de la base de Fourier, le coefficient passe à l'unité. Par conséquent, les éléments de base sous ce produit interne forment un ensemble orthonormé.
  - $A_{{n}}={\frac {1}{l}}\int _{{-l}}^{{l}}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{l} }{\mathrm {d}}x$
  - $B_{{n}}={\frac {1}{l}}\int _{{-l}}^{{l}}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{l} }{\mathrm {d}}x$
- Quelle est l'interprétation du terme constant a0,{\displaystyle a_{0},} $A_{{0}},$ et pourquoi avons-nous besoin de 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ supplémentaires dans l'expression? Cette expression est en fait la valeur moyenne de f(x){\displaystyle f(x)} $F(x)$ sur l'intervalle. (Si la fonction est périodique, alors c'est la valeur moyenne de la fonction sur l'ensemble du domaine.) Le 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ supplémentaire est là à cause des limites et compense le fait que nous intégrons sur un intervalle de longueur 2L.{\ displaystyle 2L.} $2l.$
  - ${\frac {a_{{0}}}{2}}={\frac {1}{2l}}\int _{{-l}}^{{l}}f(x){\mathrm {d }}X$

Une série de Fourier est une méthode de représentation d'une fonction en termes de fonctions — En analyse de Fourier, une série de Fourier est une méthode de représentation d'une fonction en termes de fonctions trigonométriques.

Pas

1
Décomposez la fonction suivante en fonction de sa série de Fourier. D'une manière générale, nous pouvons trouver la série de Fourier de n'importe quelle fonction (continue par morceaux - voir les astuces) sur un intervalle fini. Si la fonction est périodique, alors le comportement de la fonction dans cet intervalle nous permet de trouver la série de Fourier de la fonction sur l'ensemble du domaine.
- $F(x)=x^{{2}}-2x+1:\ [-11]$
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Identifiez les parties paires et impaires de la fonction. Chaque fonction peut être décomposée en une combinaison linéaire de fonctions paires et impaires. La base de Fourier nous convient dans la mesure où cette série sépare déjà ces composants. Par conséquent, en observant attentivement quelles parties de la fonction sont paires et lesquelles sont impaires, nous pouvons faire les intégrales séparément en sachant quels termes disparaissent et lesquels ne le font pas.
- Pour notre fonction, $X^{{2}}+1$ est pair et $-2x$ est impair. Cela signifie que $B_{{n}}=0$ pour $X^{{2}}+1$ et $A_{{n}}=0$ pour $-2x.$
Ceci résulte de la tentative d'une série comprenant des fonctions continues de converger vers une fonction discontinue.
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Évaluer le terme constant. Le terme constant a0{\displaystyle a_{0}} $A_{{0}}$ est en fait le terme cos⁡0πxL=1{\displaystyle \cos {\frac {0\pi x}{L}}=1} $\cos {\frac {0\pi x}{l}}=1$ des cosinus. Notez que -2x{\displaystyle -2x} $-2x$ ne contribue pas à l'intégrale car toute fonction constante est paire.
- $A_{{0}}=\int _{{-1}}^{{1}}(x^{{2}}+1){\mathrm {d}}x={\frac {8}{3 }}$
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Évaluer les coefficients de Fourier. Ici, nous pouvons évaluer par intégration par parties. Il est utile de reconnaître que cos⁡nπ=(−1)n{\displaystyle \cos n\pi =(-1)^{n}} $\cos n\pi =(-1)^{{n}}$ et sin⁡nπ=0.{\displaystyle \sin n\pi =0.} $\sin n\pi =0.$ Il est également intéressant de noter que l'intégrale d'une fonction trigonométrique sur une période s'annule.
- $A_{{n}}=\int _{{-1}}^{{1}}(x^{{2}}+1)\cos n\pi x{\mathrm {d}}x={\ frac {4(-1)^{{n}}}{n^{{2}}\pi ^{{2}}}}$
- $B_{{n}}=\int _{{-1}}^{{1}}-2x\sin n\pi x{\mathrm {d}}x={\frac {4(-1)^{ {n}}}{n\pi }}$
Si la fonction est périodique, alors le comportement de la fonction dans cet intervalle nous permet de trouver la série de Fourier de la fonction sur l'ensemble du domaine.
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Ecrivez la fonction en fonction de sa série de Fourier. Cette série converge sur l'intervalle (−11).{\displaystyle (-11).} Comme la fonction n'est pas périodique, la série ne tient pas sur tout l'intervalle, mais plutôt au voisinage de tout point intérieur (point par point convergence par opposition à la convergence uniforme).
- $X^{{2}}-2x+1={\frac {4}{3}}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left[{\frac {4(- 1)^{{n}}}{n^{{2}}\pi ^{{2}}}}\cos n\pi x+{\frac {4(-1)^{{n}}}{ n\pi }}\sin n\pi x\right]$
- L'image montre la série de Fourier jusqu'à $N=3,$ $N=15,$ et $N=100.$ On voit bien convergence ici, ainsi que les dépassements près des frontières qui ne semblent pas disparaître à $N.$ plus élevé $.{\displaystyle n.}$ C'est le phénomène de Gibbs, qui est le résultat de l'échec de la série à converger uniformément sur l'intervalle prescrit.

Conseils

Les fonctions continues par morceaux se comportent assez bien pour que nous puissions additionner ces fonctions en utilisant des séries de Fourier.
- Définition. Soit $F(x)$ une fonction définie sur un intervalle $[-ll].$ Alors $F(x)$ est continu par morceaux si l'ensemble des discontinuités ${\mathcal {s}}$ est fini (notez le lettrage du script), les discontinuités sont soit amovibles soit jump, et pour tout $X_{{0}}\in {\mathcal {s}}$ et $X\neq \pm L,$ la limite $\lim _{{x\to x_{{0}}^{{\pm }}}}f(x)=f(x_{{0}}^{{\pm }})$ existe.
- Essentiellement, cela veut dire que les discontinuités doivent être telles que les limites approchées de deux directions différentes soient finies. Ainsi, des fonctions comme $F(x)=1/x$ sont interdites car le comportement de la fonction à $X=0$ est trop pathologique.
- S'il y a une condition supplémentaire que la dérivée $F'(x)=\lim _{{x\to x_{{0}}}}{\frac {f(x)-f(x_{{0}})}{x-x_{{0}} }}$ existe partout dans l'intervalle mais en un nombre fini de points, et y est continu, alors $F(x)$ est dit lisse par morceaux.
- Vers quoi converge la série de Fourier au niveau de ces discontinuités? La série doit intuitivement converger vers le milieu des limites individuelles. Ceci résulte de la tentative d'une série comprenant des fonctions continues de converger vers une fonction discontinue. Soit SN(x){\displaystyle S_{N}(x)} $S_{{n}}(x)$ la Nième{\displaystyle N{\text{th}}} $N{\text{th}}$ somme partielle de la série de Fourier. Si f(x){\displaystyle f(x)} $F(x)$ est lisse par morceaux sur [−L,L],{\displaystyle [-L,L],} $[-ll],$ alors la limite suivante existe.
  - $\lim _{{n\to \infty }}s_{{n}}(x)={\begin{cases}f(x),andx\notin {\mathcal {s}}\\{\dfrac {f (x^{{+}})+f(x^{{-}})}{2}},etx\in {\mathcal {s}}\end{cases}}$

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