Comment intégrer des fonctions de déclenchement?

Hanne Maes
Hanne Maes
• 9 min de lecture
Le but ici est d'obtenir un terme défini par une identité trig
Le but ici est d'obtenir un terme défini par une identité trig.

Dans cet article, vous apprendrez des méthodes et des techniques pour résoudre des intégrales avec différentes combinaisons de fonctions trigonométriques. Il est important de mentionner que les méthodes décrites dans cet article ne sont que des règles empiriques; ils ne doivent pas être traités comme des dogmes. La compétence des règles de base de différenciation et d'intégration est supposée. Puisque la technique de substitution est largement utilisée en intégration; assurez-vous de savoir comment intégrer par substitution.

Partie 1 sur 7: préliminaires

  1. 1
    Connaître les identités de trig pertinentes. Ces identités de trig peuvent être utiles à connaître.
    • Identités pythagoriciennes (IP):
      • sin2⁡(x)+cos2⁡(x)=1{\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}
      • sin2⁡(x)=1−cos2⁡(x){\displaystyle \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)}
      • cos2⁡(x)=1−sin2⁡(x){\displaystyle \cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)}
      • sec2⁡(x)=tan2⁡(x)+1{\displaystyle \sec ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)+1}
      • csc2⁡(x)=cot2⁡(x)+1{\displaystyle \csc ^{2}(x)=\cot ^{2}(x)+1}
    • Identités à double angle (DAI):
      • sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x){\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}
      • cos⁡(2x)=cos2⁡(x)−sin2⁡(x){\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}
      • cos⁡(2x)=1−sin2⁡(x){\displaystyle \cos(2x)=1-\sin ^{2}(x)}
      • cos2⁡(x)=12(1+cos⁡(2x)){\displaystyle \cos ^{2}(x)={\frac {1}{2}}(1+\cos(2x))}
      • sin2⁡(x)=12(1−cos⁡(2x)){\displaystyle \sin ^{2}(x)={\frac {1}{2}}(1-\cos(2x))}

Partie 2 sur 7: exemple: sinus élevé à une puissance impaire

  1. 1
    Séparez un sin2⁡(x){\displaystyle \sin ^{2}(x)} .
  2. 2
    Réécrivez tout le reste en termes de cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)} et/ou sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} en utilisant des identités pythagoriciennes.
  3. 3
    Utilisez l'algèbre, la substitution et les identités trigonométriques, le cas échéant.
  4. 4
    Évaluez ∫sin5⁡(lnx)xdx{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{5}(lnx)}{x}}dx} .
  5. 5
    Faites un u-sous. Ceci est fait pour simplifier l'intégrande.
    • Soit u=ln⁡(x){\displaystyle u=\ln(x)} . Puis du=1xdx{\displaystyle du={\frac {1}{x}}dx} . Ceci est fait pour simplifier l'intégrande.
    • La substitution donne ∫sin5⁡(u)du{\displaystyle \int \sin ^{5}(u)du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Le but ici est d'obtenir un terme défini par une identité trig.
    • ∫sin4⁡(u)sin⁡(u)du{\displaystyle \int \sin ^{4}(u)\sin(u)du}
    • ∫(sin2⁡(u))2sin⁡(u)du{\displaystyle \int {(\sin ^{2}(u))}^{2}\sin(u)du}
  7. 7
    Utilisez une identité pythagoricienne pour obtenir sin2⁡(u){\displaystyle \sin ^{2}(u)} en termes de cosinus. Notre objectif ici est de configurer l'intégrande pour un autre u-sub. Par conséquent, nous voulons que l'intégrande consiste en une fonction trigonométrique et sa dérivée connue.
    • ∫(1−cos2⁡(u))2sin⁡(u)du{\displaystyle \int {(1-\cos ^{2}(u))}^{2}\sin(u)du}
  8. 8
    Faites un u-sous.
    • Soit w=cos⁡(u){\displaystyle w=\cos(u)} . Alors −dw=sin⁡(u)du{\displaystyle -dw=\sin(u)du}
    • La substitution donne −∫(1−w2)2dw{\displaystyle -\int {(1-w^{2})}^{2}dw}
  9. 9
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Distribuez les deux binômes. Combinez les mêmes termes.
    • −∫1−2w2+w4dw{\displaystyle -\int 1-2w^{2}+w^{4}dw}
  10. 10
    Intégrer.
    • −[w−2w33+w55]+C{\displaystyle -[w-{\frac {2w^{3}}{3}}+{\frac {w^{5}}{5}}]+C}
  11. 11
    Re-sous.
    • w=cos⁡(u){\displaystyle w=\cos(u)} et u=ln⁡(x){\displaystyle u=\ln(x)}
    • −[cos⁡(ln⁡(x))−23cos3⁡(ln⁡(x))+15cos5⁡(ln⁡(x))]+C{\displaystyle -[\cos(\ln(x))-{ \frac {2}{3}}\cos ^{3}(\ln(x))+{\frac {1}{5}}\cos ^{5}(\ln(x))]+C}
La substitution et les identités trigonométriques
Utilisez l'algèbre, la substitution et les identités trigonométriques, le cas échéant.

Partie 3 sur 7: exemple: sinus élevé à une puissance paire

  1. 1
    Utilisez une identité à double angle pour sin2⁡(x){\displaystyle \sin ^{2}(x)} et/ou cos2⁡(x){\displaystyle \cos ^{2}(x)}
  2. 2
    Utilisez l'algèbre, la substitution et les identités trigonométriques, le cas échéant.
  3. 3
    Évaluez ∫sin2⁡(7x)cos2⁡(7x)dx{\displaystyle \int \sin ^{2}(7x)\cos ^{2}(7x)dx} .
  4. 4
    Faites un u-sous. Ceci est fait pour simplifier l'intégrande.
    • Soit u=7x{\displaystyle u=7x} . Puis 17du=dx{\displaystyle {\frac {1}{7}}du=dx} .
    • La substitution donne 17∫sin2⁡(u)cos2⁡(u)du{\displaystyle {\frac {1}{7}}\int \sin ^{2}(u)\cos ^{2}(u)du}
  5. 5
    Utilisez une identité à double angle pour sin2⁡(u){\displaystyle \sin ^{2}(u)} et cos2⁡(u){\displaystyle \cos ^{2}(u)} . Le but ici est d'obtenir l'intégrande en termes d'une fonction trigonométrique.
    • ∫[12(1−cos⁡(2u))][12(1+cos⁡(2u))]du{\displaystyle \int {[{\frac {1}{2}}(1-\cos(2u))][{\frac {1}{2}}(1+\cos(2u))]}du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Simplifier.
    • 128∫(1−cos⁡(2u))(1+cos⁡(2u))du{\displaystyle {\frac {1}{28}}\int {(1-\cos(2u))(1+\ cos(2u))}du}
    • 128∫1−cos2⁡(2u)du{\displaystyle {\frac {1}{28}}\int {1-\cos ^{2}(2u)}du}
  7. 7
    Utilisez une identité à double angle pour cos2⁡(2u){\displaystyle \cos ^{2}(2u)} . Ceci est fait pour rendre l'intégrande intégrable.
    • 128∫1−(12(1+cos⁡(4u)))du{\displaystyle {\frac {1}{28}}\int {1-({\frac {1}{2}}(1+\ cos(4u)))}du}
  8. 8
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Distribuez et combinez des termes similaires.
    • 128∫12−12cos⁡(4u)du{\displaystyle {\frac {1}{28}}\int {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(4u)}du}
  9. 9
    Intégrer et re-sous.
    • u=7x{\displaystyle u=7x}
    • 128[72x−18sin⁡(28x)]+C{\displaystyle {\frac {1}{28}}[{\frac {7}{2}}x-{\frac {1}{8}}\sin (28x)]+C}

Partie 4 sur 7: exemple: cosinus élevé à une puissance paire

  1. 1
    Séparez un sin2⁡(x){\displaystyle \sin ^{2}(x)} .
  2. 2
    Réécrivez tout le reste en termes de cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)} et/ou sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} en utilisant des identités pythagoriciennes.
  3. 3
    Utilisez l'algèbre, la substitution et les identités trigonométriques, le cas échéant.
  4. 4
    Évaluez ∫πcos4⁡x2dx{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{4}{\frac {x}{2}}dx} .
  5. 5
    Faites un u-sous. Ceci est fait pour simplifier l'intégrande.
    • Soit u=x2{\displaystyle u={\frac {x}{2}}} . Alors 2du=dx{\displaystyle 2du=dx}
    • Changer les bornes de l'intégration puisque l'intégrale à portée de main est une intégrale définie.
    • Lorsque x=0{\displaystyle x=0} , u=0{\displaystyle u=0}
    • Lorsque x=π{\displaystyle x=\pi } , u=π2{\displaystyle u={\frac {\pi }{2}}}
    • La substitution donne 2∫0π2cos4⁡(u)du{\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}(u)du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Obtenez l'intégrande sous une forme telle qu'une identité puisse être utilisée.
    • 2∫0π2(cos2⁡(u))2du{\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{(\cos ^{2}(u))}^{2} du}
  7. 7
    Utiliser une identité à double angle pour cos2⁡(u){\displaystyle \cos ^{2}(u)}
    • 2∫0π2[12(1+cos⁡(2u))]2du{\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{[{\frac {1}{2}} (1+\cos(2u))]}^{2}du}
  8. 8
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Simplifier.
    • 2∫0π212(1+cos⁡(2u)+cos2⁡(2u))du{\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{2} }(1+\cos(2u)+\cos ^{2}(2u))du}
  9. 9
    Utilisez une identité à double angle pour cos2⁡(2u){\displaystyle \cos ^{2}(2u)} . Ceci est fait pour obtenir cos2⁡(2u){\displaystyle \cos ^{2}(2u)} dans un terme que nous pouvons intégrer.
    • 12∫0π21+2cos⁡(2u)+12(1+2cos⁡(4u))du{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2 }}1+2\cos(2u)+{\frac {1}{2}}(1+2\cos(4u))du}
  10. 10
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Simplifier.
    • 12∫0π232+2cos⁡(2u)+12cos⁡(4u)du{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {3}{2}}+2\cos(2u)+{\frac {1}{2}}\cos(4u)du}
  11. 11
    Intégrer. Puisque les limites ont été converties, ne re-sub.
    • 12[32u+sin⁡(2u)+18sin⁡(4u)]0π2{\displaystyle {\frac {1}{2}}{[{\frac {3}{2}}u+\sin(2u)+{ \frac {1}{8}}\sin(4u)]}_{0}^{\frac {\pi }{2}}}
  12. 12
    Calculer l'intégrale.
    • =3π8{\displaystyle ={\frac {3\pi }{8}}}
N'oubliez pas que nous voulons avoir une fonction trigonométrique
N'oubliez pas que nous voulons avoir une fonction trigonométrique et qu'elle est dérivée dans l'intégrande pour utiliser un u-sub.

Partie 5 sur 7: exemple: tangente élevée à une puissance paire

  1. 1
    Séparez un tan⁡(x){\displaystyle \tan(x)} .
  2. 2
    Utilisez des identités pythagoriciennes pour obtenir tout le reste en termes de sécante.
  3. 3
    Utilisez l'algèbre, la substitution et les identités trigonométriques, le cas échéant.
  4. 4
    Évaluez ∫tan4⁡yydy{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{4}{\sqrt {y}}}{\sqrt {y}}}dy} .
  5. 5
    Faites un u-sous. Ceci est fait pour simplifier l'intégrande.
    • Soit u=y{\displaystyle u={\sqrt {y}}} . Puis 2du=1ydy{\displaystyle 2du={\frac {1}{\sqrt {y}}}dy} .
    • La substitution donne 2∫tan4⁡(u)du{\displaystyle 2\int \tan ^{4}(u)du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Le but ici est d'obtenir un terme que nous pouvons remplacer par une identité pythagoricienne.
    • 2∫tan2⁡(u)tan2⁡(u)du{\displaystyle 2\int \tan ^{2}(u)\tan ^{2}(u)du}
  7. 7
    Utilisez une identité pythagoricienne pour tan2⁡(x){\displaystyle \tan ^{2}(x)} . Ne remplacez qu'un seul tan2⁡(u){\displaystyle \tan ^{2}(u)} . Ceci est fait pour obtenir un terme et sa dérivée dans l'intégrande; c'est une configuration pour un u-sub.
    • 2∫(sec2⁡(u)−1)tan2⁡(u)du{\displaystyle 2\int (\sec ^{2}(u)-1)\tan ^{2}(u)du}
  8. 8
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Séparez l'intégrande pour faciliter l'anti-différenciation.
    • 2∫tan2⁡(u)sec2⁡(u)du−2∫tan2⁡(u)du{\displaystyle 2\int {\tan ^{2}(u)\sec ^{2}(u)}du- 2\int {\tan ^{2}(u)}du}
  9. 9
    Faire un u-sub sur la première intégrale
    • Soit w=tan⁡(u){\displaystyle w=\tan(u)} . Alors dw=sec2⁡(u)du{\displaystyle dw=\sec ^{2}(u)du}
    • La substitution donne 2∫w2dw+2∫tan2⁡(u)du{\displaystyle 2\int w^{2}dw+2\int \tan ^{2}(u)du}
  10. 10
    Utilisez une identité pythagoricienne sur la deuxième intégrale.
    • ∫w2dw+∫sec2⁡(u)−1du{\displaystyle \int w^{2}dw+\int \sec ^{2}(u)-1du}
  11. 11
    Intégrer et re-sous.
    • u=y{\displaystyle u={\sqrt {y}}}
    • 23tan3⁡(y)−2tan⁡(y)−2y+C{\displaystyle {\frac {2}{3}}\tan ^{3}({\sqrt {y}})-2\tan({\ sqrt {y}})-2{\sqrt {y}}+C}
Lisez aussi: Comment convertir des kilomètres en miles?

Partie 6 sur 7: exemple: tangente élevée à une puissance impaire

  1. 1
    Séparez un tan⁡(x){\displaystyle \tan(x)} .
  2. 2
    Utilisez des identités pythagoriciennes pour obtenir tout le reste en termes de sécante.
  3. 3
    Remplacez par sec⁡(x){\displaystyle \sec(x)} .
  4. 4
    Évaluer ∫sec4⁡(1θ)tan3⁡(1θ)1θ2dθ{\displaystyle \int \sec ^{4}({\frac {1}{\theta }})\tan ^{3}({\frac {1} {\theta }}){\frac {1}{\theta ^{2}}}d\theta }
  5. 5
    Faites un u-sous.
    • Soit u=1θ{\displaystyle u={\frac {1}{\theta }}} . Alors −du=1θ2{\displaystyle -du={\frac {1}{\theta ^{2}}}} .
    • La substitution donne −∫sec4⁡(u)tan3⁡(u)du{\displaystyle -\int \sec ^{4}(u)\tan ^{3}(u)du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Réorganiser de telle sorte que nous puissions remplacer un terme par une identité pythagoricienne. Remarque, sec⁡(u)tan⁡(u){\displaystyle \sec(u)\tan(u)} est la dérivée élémentaire de sec⁡(u){\displaystyle \sec(u)} .
    • −∫sec3⁡(u)tan2⁡(u)sec⁡(u)tan⁡(u)du{\displaystyle -\int \sec ^{3}(u)\tan ^{2}(u)\sec(u)\tan(u)du}
  7. 7
    Utiliser une identité pythagoricienne pour tan2⁡(u){\displaystyle \tan ^{2}(u)}
    • ∫sec3⁡(u)(sec2⁡(u)−1)sec⁡(u)tan⁡(u)du{\displaystyle \int \sec ^{3}(u)(\sec ^{2}(u) -1)\sec(u)\tan(u)du}
  8. 8
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Gardez sec⁡(u)tan⁡(u){\displaystyle \sec(u)\tan(u)} intact. N'oubliez pas que nous voulons avoir une fonction trigonométrique et qu'elle est dérivée dans l'intégrande pour utiliser un u-sub.
    • ∫(sec5⁡(u)−sec3⁡(u))sec⁡(u)tan⁡(u)du{\displaystyle \int (\sec ^{5}(u)-\sec ^{3}(u))\sec(u)\tan(u)du}
  9. 9
    Faites un u-sous.
    • Soit w=sec⁡(u){\displaystyle w=\sec(u)} . Alors dw=sec⁡(u)tan⁡(u)du{\displaystyle dw=\sec(u)\tan(u)du}
    • La substitution donne −∫(w5−w3)dw{\displaystyle -\int (w^{5}-w^{3})dw}
  10. 10
    Intégrer.
    • −[w66−w44]+C{\displaystyle -[{\frac {w^{6}}{6}}-{\frac {w^{4}}{4}}]+C}
  11. 11
    Re-sous.
    • −[sec6⁡(1θ)6−sec4⁡(1θ)4]+C{\displaystyle -[{\frac {\sec ^{6}({\frac {1}{\theta }})}{6} }-{\frac {\sec ^{4}({\frac {1}{\theta }})}{4}}]+C}
Des techniques pour résoudre des intégrales avec différentes combinaisons de fonctions trigonométriques
Dans cet article, vous apprendrez des méthodes et des techniques pour résoudre des intégrales avec différentes combinaisons de fonctions trigonométriques.

Partie 7 sur 7: exemple: sécante élevée à une puissance paire

  1. 1
    Séparez un sec2⁡(x){\displaystyle \sec ^{2}(x)} .
  2. 2
    Utilisez une identité pythagoricienne pour obtenir tout le reste en termes de tangente.
  3. 3
    Remplacez un tan⁡(x){\displaystyle \tan(x)} le cas échéant.
  4. 4
    Évaluer ∫tsec4⁡(t2)dt{\displaystyle \int t\sec ^{4}(t^{2})dt}
  5. 5
    Faites un u-sous.
    • Soit u=t2{\displaystyle u=t^{2}} . Alors du2=tdt{\displaystyle {\frac {du}{2}}=tdt}
    • La substitution donne 12∫sec4⁡(u)du{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \sec ^{4}(u)du}
  6. 6
    Manipuler l'intégrande algébriquement. Réorganiser de telle sorte que nous puissions utiliser une identité pythagoricienne.
    • 12∫sec2⁡(u)sec2⁡(u)du{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \sec ^{2}(u)\sec ^{2}(u)du}
  7. 7
    Utilisez une identité pythagoricienne pour sec2⁡(u){\displaystyle \sec ^{2}(u)} . Gardez un sec2⁡(u){\displaystyle \sec ^{2}(u)} intact. Nous aurons besoin d'un u-sub.
    • 12∫(1+tan2⁡(u))sec2⁡(u)du{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int (1+\tan ^{2}(u))\sec ^{2 }(u)du}
  8. 8
    Faites un u-sous.
    • Soit w=tan⁡(u){\displaystyle w=\tan(u)} . Alors dw=sec2⁡(u){\displaystyle dw=\sec ^{2}(u)}
    • La substitution donne 12∫1+w2dw{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int 1+w^{2}dw}
  9. 9
    Intégrer.
    • 12[w+w33]+C{\displaystyle {\frac {1}{2}}[w+{\frac {w^{3}}{3}}]+C}
  10. 10
    Re-sous.
    • w=tan⁡(u){\displaystyle w=\tan(u)} et u=t2{\displaystyle u=t^{2}}
    • tan⁡(t2)2+tan⁡(t2)6+C{\displaystyle {\frac {\tan(t^{2})}{2}}+{\frac {\tan(t^{2}) }{6}}+C}
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