Comment résoudre les exposants décimaux?

Pour résoudre un exposant décimal, commencez par convertir la décimale en fraction, puis simplifiez la fraction.

Le calcul des exposants est une compétence de base que les élèves apprennent en pré-algèbre. Habituellement, vous voyez les exposants comme des nombres entiers, et parfois vous les voyez comme des fractions. Vous les voyez rarement comme des décimales. Lorsque vous voyez un exposant qui est un nombre décimal, vous devez convertir le nombre décimal en fraction. Ensuite, il existe un certain nombre de règles et de lois concernant les exposants que vous pouvez utiliser pour calculer l'expression.

Partie 1 sur 3: calculer un exposant décimal

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Convertissez le nombre décimal en fraction. Pour convertir un nombre décimal en fraction, considérez la valeur de position. Le dénominateur de la fraction sera la valeur de position. Les chiffres de la décimale seront égaux au numérateur.
- Par exemple, pour l'expression exponentielle $81^{{0,75}}$ , vous devez convertir $0,75$ en fraction. Puisque la décimale va à la place des centièmes, la fraction correspondante est ${\frac {75}{100}}$ .
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Simplifiez la fraction, si possible. Puisque vous allez prendre une racine correspondant au dénominateur de la fraction de l'exposant, vous voulez que le dénominateur soit aussi petit que possible. Pour ce faire, en simplifiant la fraction. Si votre fraction est un nombre fractionnaire (c'est-à-dire si votre exposant était un nombre décimal supérieur à 1), réécrivez-le comme une fraction impropre.
- Par exemple, la fraction ${\frac {75}{100}}$ réduit à ${\frac{3}{4}}$ , soit $81^{{0,75}}=81^{{{\frac {3}{4}}}}$
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Réécrivez l'exposant comme une expression de multiplication. Pour ce faire, transformez le numérateur en un nombre entier et multipliez-le par la fraction unitaire. La fraction unitaire est la fraction avec le même dénominateur, mais avec 1 comme numérateur.
- Par exemple, puisque ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\fois 3$ , vous pouvez réécrire l'expression exponentielle sous la forme $81^{{{\frac {1}{4}}\fois 3}}$ .
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Réécrivez l'exposant comme une puissance d'une puissance. N'oubliez pas que multiplier deux exposants revient à prendre la puissance d'une puissance. Donc x1b×a{\displaystyle x^{\frac {1}{b}}\times a} $X^{{{\frac {1}{b}}}}\fois par$ devient (x1b)a{\displaystyle (x^{\frac {1}{b}})^{a}} $(x^{{{\frac {1}{b}}}})^{{a}}$ .
- Par exemple, $81^{{{\frac {1}{4}}\times 3}}=(81^{{{\frac {1}{4}}}})^{{3}}$ .
$Vous devez convertir le nombre décimal en fraction$
Lorsque vous voyez un exposant qui est un nombre décimal, vous devez convertir le nombre décimal en fraction.
5
Réécrivez la base comme une expression radicale. Prendre un nombre par un exposant rationnel équivaut à prendre la racine appropriée du nombre. Donc, réécrivez la base et son premier exposant comme une expression radicale.
- Par exemple, puisque $81^{{{\frac {1}{4}}}}={\sqrt[{4}]{81}}$ , vous pouvez réécrire l'expression sous la forme $({\sqrt[{4}]{81}})^{{3}}$ .
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Calculer l'expression radicale. N'oubliez pas que l'index (le petit nombre à l'extérieur du signe radical) vous indique quelle racine vous recherchez. Si les nombres sont encombrants, la meilleure façon de le faire est d'utiliser la fonction yx{\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}} ${\sqrt[{x}]{y}}$ sur une calculatrice scientifique.
- Par exemple, pour calculer ${\sqrt[{4}]{81}}$ , vous devez déterminer quel nombre multiplié 4 fois est égal à 81. Puisque $3\fois 3\fois 3\fois 3=81$ , vous savez que ${\sqrt[{4}]{81}}=3$ . Ainsi, l'expression exponentielle devient maintenant $3^{{3}}$ .
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Calculer l'exposant restant. Vous devriez maintenant avoir un nombre entier comme exposant, donc le calcul devrait être simple. Vous pouvez toujours utiliser une calculatrice si les nombres sont trop gros.
- Par exemple, $3^{{3}}=3\fois 3\fois 3=27$ . Donc, $81^{{0,75}}=27$ .

Partie 2 sur 3: résoudre un exemple de problème

1

Calculez l'expression exponentielle suivante: $256^{{2,25}}$ .
2
Convertissez le nombre décimal en fraction. Puisque 2,25{\displaystyle 2,25} $2,25$ est supérieur à 1, la fraction sera un nombre mixte.
- La décimale $0,25$ est égale à ${\frac {25}{100}}$ , donc $2,25=2{\frac {25}{100}}$ .
3
Simplifiez la fraction, si possible. Vous devez également convertir tous les nombres fractionnaires en fractions impropres.
- Puisque ${\frac {25}{100}}$ réduit à ${\frac {1}{4}}$ , $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$ .
- En convertissant en une fraction impropre, vous avez ${\frac {9}{4}}$ . Donc, $256^{{2,25}}=256^{{{\frac {9}{4}}}}$ .
Ensuite, il existe un certain nombre de règles et de lois concernant les exposants que vous pouvez utiliser pour calculer l'expression.
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Réécrivez l'exposant comme une expression de multiplication. Depuis ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\fois 9$ , vous pouvez réécrire l'expression en $256^{{{\frac {1}{4}}\fois 9}}$ .
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Réécrivez l'exposant comme une puissance d'une puissance. Donc, $256^{{{\frac {1}{4}}\times 9}}=(256^{{{\frac {1}{4}}}})^{{9}}$ .
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Réécrivez la base comme une expression radicale. $256^{{{\frac {1}{4}}}}={\sqrt[{4}]{256}}$ , vous pouvez donc réécrire l'expression comme $({\sqrt[{4}]{256}})^{{9}}$ .
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Calculer l'expression radicale. ${\sqrt[{4}]{256}}=4$ . Ainsi, l'expression est maintenant $(4)^{{9}}$ .
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Calculer l'exposant restant. $(4)^{{9}}=4\fois 4\fois 4\fois 4\fois 4\fois 4\fois 4\fois 4\fois 4=262144$ . Donc, $256^{{2,25}}=262144$

Partie 3 sur 3: comprendre les exposants

1
Reconnaître une expression exponentielle. Une expression exponentielle a une base et un exposant. La base est le grand nombre dans l'expression. L'exposant est le plus petit nombre.
- Par exemple, dans l'expression $3^{{4}}$ , $3$ est la base et $4$ est l'exposant.
$Si votre fraction est un nombre fractionnaire$
Si votre fraction est un nombre fractionnaire (c'est-à-dire si votre exposant était un nombre décimal supérieur à 1), réécrivez-le comme une fraction impropre.
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Identifier les parties d'une expression exponentielle. La base est le nombre qui est multiplié. L'exposant vous indique combien de fois la base est utilisée comme facteur dans l'expression.
- Par exemple, $3^{{4}}=3\fois 3\fois 3\fois 3=81$ .
3
Identifiez un exposant rationnel. Un exposant rationnel est aussi appelé exposant fractionnaire. C'est un exposant qui prend la forme d'une fraction.
- Par exemple, $4^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
4
Comprendre la relation entre les radicaux et les exposants rationnels. Prendre un nombre à la puissance 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ revient à prendre la racine carrée du nombre. Donc, x12=x{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}} $X^{{{\frac {1}{2}}}}={\sqrt {x}}$ . Il en est de même pour les autres racines et exposants. Le dénominateur de l'exposant vous dira quelle racine prendre:
- $X^{{{\frac {1}{3}}}}={\sqrt[{3}]{x}}$
- $X^{{{\frac {1}{4}}}}={\sqrt[{4}]{x}}$
- $X^{{{\frac {1}{5}}}}={\sqrt[{5}]{x}}$
- Par exemple, $81^{{{\frac {1}{4}}}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ . Vous savez que 3 est la quatrième racine de 81 puisque $3\fois 3\fois 3\fois 3=81$
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Comprendre la loi exponentielle des puissances des puissances. Cette loi dit que (xa)b=xab{\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}} $(x^{{a}})^{{b}}=x^{{ab}}$ . En d'autres termes, prendre un exposant à une autre puissance revient à multiplier les deux exposants.
- Lorsque vous travaillez avec des exposants rationnels, cette loi ressemble à $X^{{{\frac {a}{b}}}}=(x^{{{\frac {1}{b}}}})^{{a}}$ , puisque ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ .