Comment calculer la transformée de Laplace d'une fonction?

La fonction exponentielle semble être plus simple que la transformée de la fonction puissance — La transformée de Laplace de fonctions comme le cosinus, le sinus et la fonction exponentielle semble être plus simple que la transformée de la fonction puissance.

La transformée de Laplace est une transformée intégrale utilisée pour résoudre des équations différentielles à coefficients constants. Cette transformation est également extrêmement utile en physique et en ingénierie.

Nous transformons simplement en utilisant la transformée de Laplace de la fonction puissance — Maintenant, nous transformons simplement en utilisant la transformée de Laplace de la fonction puissance que nous connaissons.

Bien que les tables de transformations de Laplace soient largement disponibles, il est important de comprendre les propriétés de la transformation de Laplace afin de pouvoir construire votre propre table.

Préliminaires

Soit f(t){\displaystyle f(t)} $F(t)$ une fonction définie pour t≥0.{\displaystyle t\geq 0.} $T\geq 0.$ Ensuite on définit la transformée de Laplace de f(t){\displaystyle f(t)} $F(t)$ comme la fonction suivante pour chaque valeur de s{\displaystyle s} $S$ où l'intégrale converge.
- $F(s)={\mathcal {l}}\{f(t)\}=\int _{{0}}^{{\infty }}f(t)e^{{-st}}{\ mathrm {d}}t$
En appliquant une transformation de Laplace à une fonction, nous transformons une fonction du domaine t (ou domaine temporel) au domaine s (ou domaine de Laplace), où $F(x)$ est un fonction complexe d'une variable complexe. Ce faisant, nous transformons le problème en un domaine qui, espérons-le, est plus facile à résoudre.
Évidemment, la transformée de Laplace est un opérateur linéaire, nous pouvons donc considérer la transformée d'une somme de termes en faisant chaque intégrale séparément.
- $\int _{{0}}^{{\infty }}[af(t)+bg(t)]e^{{-st}}{\mathrm {d}}t=a\int _{{0 }}^{{\infty }}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t+b\int _{{0}}^{{\infty }}g(t) e^{{-st}}{\mathrm {d}}t$
Rappelez-vous que la transformée de Laplace n'existe que si l'intégrale converge. Si la fonction $F(t)$ est discontinue n'importe où, nous devons être très prudents pour nous assurer de diviser les frontières de l'intégrale pour éviter l'explosion.

La transformée de Laplace est une transformée intégrale utilisée pour résoudre des équations différentielles à coefficients constants.

Partie 1 sur 3: les bases

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Substituer la fonction dans la définition de la transformée de Laplace. Conceptuellement, le calcul d'une transformée de Laplace d'une fonction est extrêmement simple. Nous utiliserons l'exemple de fonction f(t)=manger{\displaystyle f(t)=e^{at}} $F(t)=e^{{at}}$ où a{\displaystyle a} $UNE$ est une constante (complexe) telle que Re⁡(s)<Re⁡(a).{\displaystyle \operatorname {Re} (s)<\operatorname {Re} (a).} $\operatorname {re}(s)<\operatorname {re}(a).$
- ${\mathcal {l}}\{e^{{at}}\}=\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{at}}e^{{-st}}{ \mathrm {d}}t$
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Évaluer l'intégrale par tous les moyens possibles. Dans notre exemple, notre évaluation est extrêmement simple, et nous n'avons qu'à utiliser le théorème fondamental du calcul. Dans d'autres cas plus compliqués, des techniques telles que l'intégration de parties ou la différenciation sous l'intégrale peuvent être utilisées. Notre contrainte Re⁡(s)<Re⁡(a){\displaystyle \operatorname {Re} (s)<\operatorname {Re} (a)} $\operatorname {re}(s)<\operatorname {re}(a)$ signifie que l'intégrande converge, c'est-à-dire passe à 0 lorsque t→∞. {\displaystyle t\à \infty.} $T\à \infty.$
- ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\{e^{{at}}\}et=\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{(as)t} }{\mathrm {d}}t\\and={\frac {e^{{(as)t}}}{as}}{\bigg |}_{{0}}^{{\infty }} \\and={\frac {1}{sa}}\end{aligned}}$
- Notez que cela nous donne deux transformées de Laplace pour «librement»: les fonctions sinus et cosinus, si l'on considère la fonction associée eiat{\displaystyle e^{iat}} $E^{{iat}}$ via la formule d'Euler. Alors au dénominateur, on aurait s−ia,{\displaystyle s-ia,} $S-ia,$ et il ne reste plus qu'à prendre les parties réelle et imaginaire de ce résultat. Nous pourrions aussi simplement évaluer directement, mais cela demanderait un peu plus de travail.
  - ${\mathcal {l}}\{\cos at\}=\operatorname {re}\left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {s}{s^{{ 2}}+un^{{2}}}}$
  - ${\mathcal {l}}\{\sin at\}=\operatorname {im}\left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {a}{s^{{ 2}}+un^{{2}}}}$
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Évaluer la transformée de Laplace de la fonction puissance. Avant de continuer, nous devons déterminer la transformée de la fonction puissance, car la propriété de linéarité nous permet de déterminer la transformée pour tous les polynômes. La fonction puissance est la fonction tn,{\displaystyle t^{n},} $T^{{n}},$ où n{\displaystyle n} $N$ est un entier positif quelconque. Nous pouvons utiliser l'intégration par parties pour déterminer une règle récursive.
- ${\mathcal {l}}\{t^{{n}}\}=\int _{{0}}^{{\infty }}t^{{n}}e^{{-st}}{ \mathrm {d}}t={\frac {n}{s}}{\mathcal {l}}\{t^{{n-1}}\}$
- Notre résultat n'est pas écrit explicitement, mais en substituant quelques valeurs de n,{\displaystyle n,} $N,$ un modèle clair émerge (essayez-le vous-même), à partir duquel nous pouvons déterminer le résultat suivant.
  - ${\mathcal {l}}\{t^{{n}}\}={\frac {n!}{s^{{n+1}}}}$
- Nous pouvons également déterminer les transformées de Laplace de puissances fractionnaires en utilisant la fonction Gamma. Cela nous permet de trouver des transformations de fonctions comme f(t)=t.{\displaystyle f(t)={\sqrt {t}}.} $F(t)={\sqrt {t}}.$
  - ${\mathcal {l}}\{t^{{n}}\}={\frac {\gamma (n+1)}{s^{{n+1}}}}$
  - ${\mathcal {l}}\{t^{{0,5}}\}={\frac {\gamma (1,5)}{s^{{1,5}}}}={\frac { {\sqrt {\pi }}}{2s{\sqrt {s}}}}$
- Bien que les fonctions avec des puissances fractionnaires doivent contenir des coupures de branches (rappelons que pour tous les nombres complexes $Z$ et $\alpha,$ nous $Z^{{\alpha }}$ comme $E^{{\alpha \operatorname {log}z}}$ ), nous pouvons toujours les définir de telle sorte que les coupes de branches se trouvent dans le demi-plan gauche afin d'éviter les problèmes d'analyticité.

Partie 2 sur 3: propriétés de la transformée de Laplace

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Déterminer la transformée de laplace d'une fonction multipliée par $e^{{at}}$ . Les résultats de la section précédente nous ont permis d'entrevoir quelques propriétés intéressantes de la transformée de Laplace. La transformée de Laplace de fonctions comme le cosinus, le sinus et la fonction exponentielle semble être plus simple que la transformée de la fonction puissance. Nous verrons que la multiplication par eat{\displaystyle e^{at}} $E^{{at}}$ dans le domaine t correspond à un décalage dans le domaine s.
- ${\mathcal {l}}\{e^{{at}}f(t)\}=\int _{{0}}^{{\infty }}f(t)e^{{-(sa) t}}{\mathrm {d}}t=f(sa)$
- Cette propriété nous permet immédiatement de trouver des transformées de fonctions comme f(t)=e3tsin⁡2t{\displaystyle f(t)=e^{3t}\sin 2t} $F(t)=e^{{3t}}\sin 2t$ sans avoir à évaluer directement l'intégrale.
  - ${\mathcal {l}}\{e^{{3t}}\sin 2t\}={\frac {2}{(s-3)^{{2}}+4}}$
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Déterminer la transformée de laplace d'une fonction multipliée par $t^{{n}}$ . Envisageons d'abord de multiplier par t{\displaystyle t} $T$ . Ensuite, à partir de la définition, nous pouvons différencier sous l'intégrale pour obtenir un résultat étonnamment propre.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\{tf(t)\}and=\int _{{0}}^{{\infty }}tf(t)e^{{-st}} {\mathrm {d}}t\\and=-\int _{{0}}^{{\infty }}f(t){\frac {\partial }{\partial s}}e^{{- st}}{\mathrm {d}}t\\and=-{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}s}}\int _{{0}}^{{ \infty }}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t\\and=-{\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}} s}}\end{aligné}}$
- En répétant ce processus, nous arrivons au résultat général.
  - ${\mathcal {l}}\{t^{{n}}f(t)\}=(-1)^{{n}}{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}} f}{{\mathrm {d}}s^{{n}}}}$
- L'échange des opérateurs d'intégrale et de différentiation demande un peu de justification quant à la rigueur, mais nous ne la justifierons pas ici sauf à noter que l'opération est permise tant que notre réponse finale a du sens. Un peu de confort peut être recherché dans le fait que $S$ et $T$ sont des variables indépendantes l'une de l'autre.
- Bien sûr, en utilisant cette propriété, les transformations de Laplace de fonctions comme t2cos⁡2t{\displaystyle t^{2}\cos 2t} $T^{{2}}\cos 2t$ sont facilement trouvées sans avoir à utiliser à plusieurs reprises l'intégration par parties.
  - ${\mathcal {l}}\{t^{{2}}\cos 2t\}={\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}}{{\mathrm {d}}s^ {{2}}}}{\frac {s}{s^{{2}}+4}}={\frac {2}s^{{3}}-24s}{(s^{{2}}+ 4)^{{3}}}}$
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Déterminer la transformée de Laplace d'une fonction étirée $gros)$ . En utilisant la définition, nous pouvons également déterminer facilement cette transformation en utilisant une substitution en u.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\{f(at)\}and=\int _{{0}}^{{\infty }}f(at)e^{{-st}} {\mathrm {d}}t,\ \ u=at\\and={\frac {1}{a}}\int _{{0}}^{{\infty }}f(u)e^{ {-su/a}}{\mathrm {d}}u\\and={\frac {1}{a}}f\left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned }}$
- Auparavant, nous avons trouvé les transformées de Laplace de $\péché à$ et $\cos à$ partir de la fonction exponentielle directement. Nous pouvons utiliser cette propriété pour arriver au même résultat, en commençant par trouver les parties réelle et imaginaire de ${\mathcal {l}}\{e^{{it}}\}={\frac {1}{si}}$ .
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Déterminer la transformée de laplace d'une dérivée $f^{{\prime }}(t)$ . Contrairement à nos résultats précédents qui ont économisé un peu de travail de l'intégration par parties, nous devons utiliser ici l'intégration par parties.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\{f^{{\prime }}(t)\}and=\int _{{0}}^{{\infty }}f^{{\ prime }}(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t,\ \ u=e^{{-st}},\ {\mathrm {d}}v=f^{{ \prime }}(t){\mathrm {d}}t\\and=f(t)e^{{-st}}{\big |}_{{0}}^{{\infty }}+ s\int _{{0}}^{{\infty }}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t\\and=sf(s)-f(0)\ fin{aligné}}$
- Comme la dérivée seconde apparaît dans de nombreuses applications physiques, nous listons également la transformée de Laplace d'une dérivée seconde.
  - ${\mathcal {l}}\{f^{{\prime \prime }}(t)\}=s^{{2}}f(s)-sf(0)-f^{{\prime }} (0)$
- En général, il s'avère que la transformée de Laplace de la dérivée n est donnée par le résultat suivant. Ce résultat est important dans la résolution d'équations différentielles via les transformées de Laplace.
  - ${\mathcal {l}}\{f^{{(n)}}(t)\}=s^{{n}}f(s)-\sum _{{k=0}}^{{n -1}}s^{{nk-1}}f^{{(k)}}(0)$

On voit que la transformée de Laplace d'une fonction périodique est liée à la transformée de Laplace d'un cycle de la fonction.

Partie 3 sur 3: méthodes de série

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Déterminer la transformée de Laplace d'une fonction périodique. Une fonction périodique est une fonction qui satisfait la propriété f(t)=f(t+nT),{\displaystyle f(t)=f(t+nT),} $F(t)=f(t+nt),$ où T{\displaystyle T} $T$ est la période du fonction et n{\displaystyle n} $N$ est un entier positif. Les fonctions périodiques apparaissent dans de nombreuses applications du traitement du signal et de l'électrotechnique. En utilisant un peu de manipulation, nous arrivons à la réponse suivante.
- ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\{f(t)\}and=\int _{{0}}^{{\infty }}f(t)e^{{-st}} {\mathrm {d}}t\\and=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\int _{{nt}}^{{(n+1)t}}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t\\and=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\int _{{0}}^{{ t}}f(t+nt)e^{{-s(t+nt)}}{\mathrm {d}}t\\and=\sum _{{n=0}}^{{\infty } }e^{{-snt}}\int _{{0}}^{{t}}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t\\and={\frac {1}{1-e^{{-st}}}}\int _{{0}}^{{t}}f(t)e^{{-st}}{\mathrm {d}}t \end{aligné}}$
- On voit que la transformée de Laplace d'une fonction périodique est liée à la transformée de Laplace d'un cycle de la fonction.
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Voir l'article sur le calcul de la transformée de Laplace du logarithme népérien. Cette intégrale ne peut pas être évaluée en utilisant le théorème fondamental du calcul car la primitive ne peut pas être exprimée en termes de fonctions élémentaires. L'article traite d'une technique utilisant la fonction Gamma et ses diverses expansions en série pour évaluer le logarithme naturel et ses puissances supérieures. La présence de la constante d'Euler-Mascheroni γ{\displaystyle \gamma } $\gamma$ suffit à indiquer que l'intégrale doit être évaluée à l'aide de méthodes de séries.
- ${\mathcal {l}}\{\ln t\}=-{\frac {\gamma +\ln s}{s}}$
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Évaluer la transformée de Laplace de la fonction sinc (non normalisée). La fonction sinc sinc⁡(t)=sin⁡tt{\displaystyle \operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin t}{t}}} $\operatorname {sinc}(t)={\frac {\sin t}{t}}$ est une fonction largement rencontrée dans le traitement du signal, et peut être reconnaissable à partir d'équations différentielles équivalentes à la fonction de Bessel sphérique d'ordre zéro du premier type j0(x).{\displaystyle j_{0}(x).} $J_{{0}}(x).$ La transformée de Laplace de cette fonction ne peut pas non plus être calculée de manière standard. Nous recourons à la transformation terme par terme, permise car les termes individuels sont des fonctions puissances et donc leurs transformations convergent certainement sur l'intervalle prescrit.
- Nous commençons par écrire la série de Taylor de cette fonction.
  - ${\frac {\sin t}{t}}=\somme _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{n}}t^{{2n} }}{(2n+1)!}}$
- Maintenant, nous transformons simplement en utilisant la transformée de Laplace de la fonction puissance que nous connaissons. Les factorielles s'annulent, et après avoir regardé notre expression, nous reconnaissons la série de Taylor de la tangente inverse, la série alternée qui ressemble à la série de Taylor pour la fonction sinus mais sans les factorielles.
  - ${\begin{aligned}{\mathcal {l}}\left\{{\frac {\sin t}{t}}\right\}et=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{n}}(2n)!}{(2n+1)!}}{\frac {1}{s^{{2n+1}}}}\\ and=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{n}}}{2n+1}}{\frac {1}{s^{ {2n+1}}}}\\and=\tan ^{{-1}}{\frac {1}{s}}\end{aligned}}$