Comment diviser les logarithmes?

Pour diviser les logarithmes à la main, commencez par vérifier les nombres négatifs et les uns.

Les logarithmes peuvent sembler difficiles à utiliser, mais tout comme les exposants ou les polynômes, il vous suffit d'apprendre les bonnes techniques. Vous n'avez besoin de connaître que quelques propriétés de base pour diviser deux logarithmes de la même base, ou pour développer un logarithme qui contient un quotient.

Méthode 1 sur 2: diviser les logarithmes à la main

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Vérifiez les nombres négatifs et les uns. Cette méthode couvre les problèmes sous la forme logb⁡(x)logb⁡(a){\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}$ . Cependant, cela ne fonctionne pas pour quelques cas particuliers:
- Le log d'un nombre négatif est indéfini pour toutes les bases (telles que $\log(-3)$ ou $\log _{{4}}(-5)$ ). Écrivez "pas de solution".
- Le log de zéro est également indéfini pour toutes les bases. Si vous voyez un terme tel que $\ln(0)$ , écrivez "pas de solution".
- Le log de un dans n'importe quelle base ( $\log(1)$ ) est toujours égal à zéro, puisque $X^{{0}}=1$ pour toutes les valeurs de x. Remplacez ce logarithme par 1 au lieu d'utiliser la méthode ci-dessous.
- Si les deux logarithmes ont des bases différentes, comme ${\frac {log_{{3}}(x)}{log_{{4}}(a)}}$ , et vous ne pouvez pas simplifier non plus un en un entier, le problème n'est pas réalisable à la main.
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Convertissez l'expression en un seul logarithme. En supposant que vous n'ayez trouvé aucune des exceptions ci-dessus, vous pouvez maintenant simplifier le problème en un seul logarithme. Pour ce faire, utilisez la formule logb⁡(x)logb⁡(a)=loga⁡(x){\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a) }}=\log _{a}(x)} ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}=\log _{{a}}(x)$ .
- Exemple 1: Résoudre le problème ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Commencez par convertir cela en un seul logarithme en utilisant la formule ci-dessus: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{{2}}(16)$ .
- Cette formule est la formule de "changement de base", dérivée des propriétés logarithmiques de base.
Si l'un des nouveaux logarithmes de l'expression a une réponse entière, simplifiez-le maintenant.
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Calculer à la main si possible. N'oubliez pas que pour résoudre loga⁡(x){\displaystyle \log _{a}(x)} $\log _{{a}}(x)$ , pensez " a?=x{\displaystyle a^{?}=x} $A^{{?}}=x$ " ou " Quel exposant puis-je augmenter a de pour obtenir x?" Il n'est pas toujours possible de résoudre ce problème sans calculatrice, mais si vous êtes chanceux, vous vous retrouverez avec un logarithme facilement simplifié.
- Exemple 1 (suite): Réécrivez $\log _{{2}}(16)$ tant que $2^{{?}}=16$ . La valeur de "?" est la réponse au problème. Vous devrez peut-être le trouver par essais et erreurs:
  $2^{{2}}=2*2=4$
  $2^{{3}}=4*2=8$
  $2^{{4}}=8*2=16$
  16 est ce que vous cherchiez, donc $\log _{{2}}(16)$ = 4.
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Laissez la réponse sous forme logarithmique si vous ne pouvez pas la simplifier. Certains logarithmes sont très difficiles à résoudre à la main. Vous aurez besoin d'une calculatrice si vous avez besoin de la réponse à des fins pratiques. Si vous résolvez des problèmes en cours de mathématiques, votre professeur s'attend probablement à ce que vous laissiez la réponse sous forme de logarithme. Voici un autre exemple utilisant cette méthode sur un problème plus difficile:
- Exemple 2: Qu'est-ce que ${\frac {\log _{{3}}(58)}{\log _{{3}}(7)}}$ ?
- Convertissez ceci en un seul logarithme: ${\frac {\log _{{3}}(58)}{\log _{{3}}(7)}}=\log _{{7}}(58)$ . (Notez que le ₃ dans chaque journal initial disparaît; cela est vrai pour n'importe quelle base.)
- Réécrivez comme $7^{{?}}=58$ et testez les valeurs possibles de?:
  $7^{{2}}=7*7=49$
  $7^{{3}}=49*7=343$
  Puisque 58 se situe entre ces deux nombres, $\log _{{7}}(58)$ n'a pas de réponse entière.
- Laissez votre réponse sous la forme $\log _{{7}}(58)$ .

Méthode 2 sur 2: travailler avec le journal d'un quotient

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Commencez par un problème de division dans un logarithme. Cette section vous aide à résoudre les problèmes qui incluent des expressions sous la forme loga⁡(xy){\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})} $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})$ .
- Par exemple, commencez par ce problème:
  "Résoudre pour n if $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{{3}}(6)$ ."
Il n'y a pas de logarithmes de nombres négatifs dans l'exemple de problème, vous pouvez donc passer à l'étape suivante.
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Vérifiez les nombres négatifs. Le logarithme d'un nombre négatif n'est pas défini. Si x ou y sont des nombres négatifs, vérifiez que le problème a une solution avant de continuer:
- Si x ou y est négatif, il n'y a pas de solution au problème.
- Si les deux x et y sont négatifs, supprimez les signes négatifs en utilisant la propriété ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$
- Il n'y a pas de logarithmes de nombres négatifs dans l'exemple de problème, vous pouvez donc passer à l'étape suivante.
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Développez le quotient en deux logarithmes. Une propriété utile des logarithmes est décrite par la formule loga⁡(xy)=loga⁡(x)−loga⁡(y){\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})=\ log _{a}(x)-\log _{a}(y)} $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})=\log _{{a}}(x)-\log _{{a}}(y)$ . En d'autres termes, le log d'un quotient est toujours égal au log du numérateur moins le log du dénominateur.
- Utilisez ceci pour développer le côté gauche de l'exemple de problème:
  $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=\log _{{3}}(27)-\log _{{3}}(6n)$
- Remplacez ceci dans l'équation d'origine:
  $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(27)-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
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Simplifiez les logarithmes si possible. Si l'un des nouveaux logarithmes de l'expression a une réponse entière, simplifiez-le maintenant.
- L'exemple de problème a un nouveau terme: $\log _{{3}}(27)$ . Puisque 3 ³ = 27, simplifiez $\log _{{3}}(27)$ à 3.
- L'équation complète est maintenant:
  $3-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
Vous n'avez besoin de connaître que quelques propriétés de base pour diviser deux logarithmes de la même base, ou pour développer un logarithme qui contient un quotient.
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Isolez la variable. Comme tout problème d'algèbre, cela aide à isoler le terme avec la variable d'un côté de l'équation. Combinez autant de termes similaires que possible pour simplifier l'équation.
- $3-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
  $9-\log _{{3}}(6n)=-\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(6n)=9+\log _{{3}}(6)$ .
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Utilisez des propriétés supplémentaires de logarithmes si nécessaire. Pour isoler la variable des autres termes à l'intérieur du même logarithme, réécrivez le terme en utilisant d'autres propriétés du logarithme.
- Dans l'exemple de problème, le n est toujours piégé dans le terme $\log _{{3}}(6n)$ .
  Afin d'isoler le n, utilisez la propriété product des logarithmes: $\log _{{a}}(bc)=\log _{{a}}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{{3}}(6n)=\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)$
- Remplacez ceci dans l'équation complète:
  $\log _{{3}}(6n)=9+\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)=9+\log _{{3}}(6)$
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Continuez à simplifier jusqu'à ce que vous trouviez la solution. Répétez les mêmes techniques algébriques et logarithmiques pour résoudre le problème. S'il n'y a pas de solution entière, utilisez une calculatrice et arrondissez au chiffre significatif le plus proche.
- $\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)=9+\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(n)=9$
  Depuis 3⁹ = 19683, n =19683