Comment rationaliser le dénominateur?
Pour rationaliser un dénominateur, commencez par multiplier le numérateur et le dénominateur par le radical du dénominateur. Ensuite, simplifiez la fraction si nécessaire. Si vous travaillez avec une fraction qui a un dénominateur binomial, ou deux termes dans le dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Pour obtenir le conjugué, il suffit d'inverser le signe dans l'expression. Ensuite, simplifiez votre réponse au besoin. Pour apprendre à rationaliser un dénominateur avec une racine cubique, faites défiler vers le bas!
Si vous travaillez avec une fraction qui a un dénominateur binomial, ou deux termes dans le dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Traditionnellement, un nombre radical ou irrationnel ne peut pas être laissé au dénominateur (le bas) d'une fraction. Lorsqu'un radical apparaît dans le dénominateur, vous devez multiplier la fraction par un terme ou un ensemble de termes pouvant supprimer cette expression radicale. Si l'utilisation de calculatrices rend la rationalisation des fractions un peu dépassée, cette technique peut encore être testée en classe.
Partie 1 sur 4: rationaliser un dénominateur monôme
- 1Examinez la fraction. Une fraction s'écrit correctement lorsqu'il n'y a pas de radical au dénominateur. Si le dénominateur contient une racine carrée ou un autre radical, vous devez multiplier à la fois le haut et le bas par un nombre qui peut éliminer ce radical. Notez que le numérateur peut contenir un radical. Ne vous inquiétez pas pour le numérateur.
- Échec de l'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}
- Nous pouvons voir qu'il y a un 7{\displaystyle {\sqrt {7}}} dans le dénominateur.
- 2Multipliez le numérateur et le dénominateur par le radical au dénominateur. Une fraction avec un terme monôme au dénominateur est la plus facile à rationaliser. Le haut et le bas de la fraction doivent être multipliés par le même terme, car ce que vous faites réellement est de multiplier par 1.
- 7327⋅77{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}} }
- 3Simplifiez au besoin. La fraction a maintenant été rationalisée.
- 7327⋅77=72114=212{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt { 7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}}
Comment rationaliser le dénominateur avec une racine cubique qui a une variable?
Partie 2 sur 4: rationaliser un dénominateur binomial
- 1Examinez la fraction. Si votre fraction contient une somme de deux termes au dénominateur, dont au moins un est irrationnel, alors vous ne pouvez pas multiplier la fraction par elle au numérateur et au dénominateur.
- 42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}}
- Pour voir pourquoi c'est le cas, écrivez une fraction arbitraire 1a+b,{\displaystyle {\frac {1}{a+b}},} où a{\displaystyle a} et b{\displaystyle b} sont irrationnels. Alors l'expression (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}} contient une croix -term 2ab.{\displaystyle 2ab.} Si au moins un de a{\displaystyle a} et b{\displaystyle b} est irrationnel, alors le terme croisé contiendra un radical.
- Voyons comment cela fonctionne avec notre exemple.
- 42+2⋅2+22+2=4(2+2)4+42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+ {\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+ 2}}}
- Comme vous pouvez le voir, il n'y a aucun moyen de se débarrasser du 42{\displaystyle 4{\sqrt {2}}} dans le dénominateur après avoir fait cela.
- 2Multipliez la fraction par le conjugué du dénominateur. Le conjugué d'une expression est la même expression avec le signe inversé. Par exemple, le conjugué de 2+2{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}} est 2−2.{\displaystyle 2-{\sqrt {2}}.}
- 42+2⋅2−22−2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{ \sqrt {2}}}}}
- Pourquoi le conjugué fonctionne-t-il? Pour en revenir à notre fraction arbitraire 1a+b,{\displaystyle {\frac {1}{a+b}},} en multipliant par le conjugué dans le numérateur et le dénominateur, le dénominateur est (a+b)(a−b)=a2−b2.{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}.} La clé ici est qu'il n'y a pas de termes croisés. Étant donné que ces deux termes sont mis au carré, toutes les racines carrées seront éliminées.
- 3Simplifiez au besoin.
- 42+2⋅2−22−2=4(2−2)4−2=4−22{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac { 2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2 {\sqrt {2}}}
Comment rationalisez-vous une racine cubique au dénominateur pour une question comme 1/(racine cubique 5- racine cubique 3)?
Partie 3 sur 4: travailler avec les réciproques
- 1Examinez le problème. Si on vous demande d'écrire l'inverse d'un ensemble de termes contenant un radical, vous devrez rationaliser avant de simplifier. Utilisez la méthode des dénominateurs monômes ou binomiaux, selon ce qui s'applique au problème.
- 2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
- 2Écrivez la réciproque telle qu'elle apparaîtrait habituellement. Une réciproque est créée lorsque vous inversez la fraction. Notre expression 2-3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} est en fait une fraction. Il est juste divisé par 1.
- 12−3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}}
- 3Multipliez par quelque chose qui peut éliminer le radical en bas. N'oubliez pas que vous multipliez en fait par 1, vous devez donc multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur. Notre exemple est un binôme, multipliez donc le haut et le bas par le conjugué.
- 12−3⋅2+32+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{ \sqrt {3}}}}}
- 4Simplifiez au besoin.
- 12−3⋅2+32+3=2+34−3=2+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\ sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\ sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\ sqrt {3}}}
- Ne vous laissez pas décourager par le fait que l'inverse est le conjugué. C'est juste une coïncidence.
Pour rationaliser un dénominateur, commencez par multiplier le numérateur et le dénominateur par le radical du dénominateur.
Partie 4 sur 4: rationaliser les dénominateurs avec une racine cubique
- 1Examinez la fraction. Vous pouvez également vous attendre à rencontrer des racines cubiques dans le dénominateur à un moment donné, bien qu'elles soient plus rares. Cette méthode se généralise également aux racines de n'importe quel index.
- 333{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}}
- 2Réécrivez le dénominateur en termes d'exposants. Trouver une expression qui rationalisera le dénominateur ici sera un peu différent car nous ne pouvons pas simplement multiplier par le radical.
- 330,33{\displaystyle {\frac {3}{3^{0,33}}}}
- 3Multipliez le haut et le bas par quelque chose qui fait l'exposant au dénominateur 1. Dans notre cas, nous avons affaire à une racine cubique, alors multipliez par 30 6730,67.{\displaystyle {\frac {3^{0,67}} {3^{0,67}}}.} Rappelez-vous que les exposants transforment un problème de multiplication en un problème d'addition par la propriété abac=ab+c.{\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b +c}.}
- 330,33⋅30,6730.67{\displaystyle {\frac {3}{3^{0,33}}}\cdot {\frac {3^{0,67}}{3^{0,67}}} }
- Cela peut se généraliser aux racines nièmes du dénominateur. Si nous avons 1a1/n,{\displaystyle {\frac {1}{a^{1/n}}},} nous multiplions le haut et le bas par a1−1n.{\displaystyle a^{1-{\frac {1}{n}}}.} Cela rendra l'exposant au dénominateur 1.
- 4Simplifiez au besoin.
- 330,33⋅30,6730.67=30,67{\displaystyle {\frac {3}{3^{0,33}}}\cdot {\frac {3^{0,67}}{3^{0, 67}}}=3^{0,67}}
- Si vous avez besoin de l'écrire sous une forme radicale, factorisez le 0,33.{\displaystyle 0,33.}
- 30,67=(32)0,33=93{\displaystyle 3^{0,67}=(3^{2})^{0,33}={\sqrt[{3}]{9}}}
![{\frac {3}{{\sqrt[{3}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a37ab9394065e1be3dca1eeb4e96021d86c08a2)
![3^{{0,67}}=(3^{{2}})^{{0,33}}={\sqrt[{3}]{9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e059be31ff9a14ad50f7f395de6079811267a674)
Lisez aussi: Comment comparer des décimales?
Questions et réponses
- Comment rationaliser le dénominateur avec une racine cubique qui a une variable?S'il s'agit d'une expression binomiale, suivez les étapes décrites dans la méthode 2.
- Sur vos photos, qu'est-ce que ça veut dire?Si vous posez des questions sur les points qui sont placés entre différentes fractions, ce sont des signes de multiplication. Par exemple, dans la deuxième image de l'article, nous voyons (7√3) / (2√7), puis un point, puis (√7 / √7). Cela signifie que nous multiplions la première fraction par la deuxième fraction (numérateur multiplié par le numérateur et dénominateur multiplié par le dénominateur), ce qui nous donne (7√21) / 14, ce qui se simplifie en √21 / 2. (Par ailleurs, l'article montre d'autres points qui ne sont pas entre des fractions. Ce ne sont que des «puces».)
- Comment rationalisez-vous une racine cubique au dénominateur pour une question comme 1/(racine cubique 5- racine cubique 3)?C'est un peu plus délicat, mais c'est faisable. Multipliez en haut et en bas par (racine cubique 25 + racine cubique 15 + racine cubique 9) et le dénominateur se simplifie à 2. Cette astuce est analogue au cas quadratique puisqu'elle utilise la factorisation de la différence de cubes de 5-3, alors que les quadratiques utilisent la différence de factorisation au carré.
- Comment rationaliser avec trois termes?Quelque chose comme 1/(1+root2 + root3)? Si c'est le cas, regroupez par 1+(racine2 + racine3) et multipliez par la "différence de carrés conjuguée" 1-(racine2 + racine3). Cela rend le dénominateur -4 - root6, qui est toujours irrationnel, mais s'est amélioré de deux termes irrationnels à un seul. Répétez donc la même astuce en multipliant par -4+root6 et le dénominateur est rationalisé.
