Comment trouver les racines nième à la main?
Voici cette méthode amusante de type division longue pour trouver des racines carrées et cubiques généralisées aux racines nièmes.
Voici cette méthode amusante de type division longue pour trouver des racines carrées et cubiques généralisées aux racines nièmes. Ce sont tous en réalité des extensions du théorème binomial.
- 1Partitionnez votre numéro. Séparez le nombre dont vous voulez trouver la racine nième en intervalles de n chiffres avant et après la virgule. S'il y a moins de n chiffres avant la virgule, alors c'est le premier intervalle. Et s'il n'y a pas de chiffres ou moins de n chiffres après la virgule, remplissez les espaces avec des zéros.
- 2Trouvez une première estimation. Trouvez un nombre (a) élevé à la puissance n la plus proche des n premiers chiffres (ou des moins de n chiffres avant la virgule) en tant que nombre de base dix sans le dépasser. C'est le premier et le seul chiffre de votre estimation jusqu'à présent.
- 3Modifiez la différence. Soustrayez votre estimation à la puissance n (a n) de ces n premiers chiffres et abaissez les n chiffres suivants à côté de cette différence pour former un nouveau nombre, une différence modifiée. (Ou multipliez la différence par 10 n et ajoutez les n chiffres suivants en tant que nombre en base dix.)
- 4Trouvez le deuxième chiffre de votre estimation. Trouver un nombre b tel que (n C 1 a n - 1 (10 n-1) + n C 2 a n - 2 b (10 n - 2)) +... + n C n - 1 ab n - 2 (10) + n C n b n - 1 (100))b est inférieur ou égal à la différence modifiée ci-dessus (10 n(d) + d 1 d 2... d n). Cela devient le deuxième chiffre de votre estimation jusqu'à présent.
- La notation des combinaisons n C r représente n! divisé par le produit de (n - r)! et r!, où n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)... (3)(2)(1). La notation n C r est parfois exprimée comme n sur r entre de grandes parenthèses sans barre de division, et elle peut être calculée simplement comme les premiers r facteurs de n! divisé par r!, qui s'écrit souvent comme n P r divisé par r!
Séparez le nombre dont vous voulez trouver la racine nième en intervalles de n chiffres avant et après la virgule. - 5Trouvez votre nouvelle différence modifiée. Soustraire les deux quantités de la dernière étape ci-dessus (10 n (d) + d 1 d 2... d n moins n C 1 a n - 1 (10 n-1) + n C 2 a n - 2 b (10 n - 2)) +... + n C n - 1 ab n - 2 (10) + n C nb n - 1 (100))b) pour former votre nouvelle différence modifiée en réduisant le prochain ensemble de n chiffres à côté de ce résultat. (Ou multipliez la différence par 10 n et ajoutez les n chiffres suivants en tant que nombre en base dix.)
- 6Trouvez le troisième chiffre de votre estimation. Trouvez un nouveau nombre c et utilisez votre estimation jusqu'à présent, a (qui est maintenant à 2 chiffres), tel que (n C 1 a n - 1 (10 n - 1) + n C 2 a n - 2 c (10 n - 2) +... + n C n - 1 ac n - 2 (10) + n C n c n - 1 (100)) c est inférieur ou égal à la nouvelle différence modifiée ci-dessus (10 n (d) + d 1 d 2... d n). Cela devient le troisième chiffre de votre estimation jusqu'à présent.
- 7Répéter. Continuez à répéter les deux dernières étapes ci-dessus pour trouver plus de chiffres de votre estimation.
- Il s'agit essentiellement d'une expansion binomiale mobile moins le terme principal, où les deux termes impliqués sont l'estimation précédente multipliée par 10 et le chiffre suivant pour améliorer l'estimation.
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Questions et réponses
- Comment trouver la racine 7 de 4 sans utiliser de calculatrice?Vous devez suivre les étapes pour la septième racine, en regroupant 4 comme 4. 0000000 0000000, etc. Et vous aurez probablement besoin d'une calculatrice à 4 fonctions. "À la main" signifie ici vraiment, sans utiliser la fonction racine nième sur une calculatrice scientifique. Cependant, avec beaucoup de travail, cela pourrait être fait à la main.
- L'équation pour trouver le deuxième chiffre de votre estimation, telle que décrite à l'étape 4, est trop vaguement définie pour que je puisse même en tirer une équation clairement définie. Pourriez-vous le définir comme une sommation?Oui nous pouvons. En somme: Somme 1 à k de n_C_k a^(n - k)b^(k - 1)10^(n - k).
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