Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle?

Si les côtés égaux d'un triangle isocèle ont une longueur de 13 cm et une surface de 60 cm carrés, comment puis-je trouver la base?

Un triangle isocèle est un triangle avec deux côtés de même longueur. Ces deux côtés égaux se rejoignent toujours au même angle avec la base (le troisième côté) et se rejoignent directement au-dessus du milieu de la base. Vous pouvez le tester vous-même avec une règle et deux crayons de même longueur: si vous essayez d'incliner le triangle dans un sens ou dans l'autre, vous ne pouvez pas faire en sorte que les pointes des crayons se rencontrent. Ces propriétés spéciales du triangle isocèle vous permettent de calculer l'aire à partir de quelques informations seulement.

Méthode 1 sur 2: trouver la zone à partir des longueurs latérales

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Passez en revue la zone d'un parallélogramme. Les carrés et les rectangles sont des parallélogrammes, tout comme toute forme à quatre côtés avec deux ensembles de côtés parallèles. Tous les parallélogrammes ont une formule d'aire simple: l'aire est égale à la base multipliée par la hauteur, ou A = bh. Si vous placez le parallélogramme à plat sur une surface horizontale, la base correspond à la longueur du côté sur lequel il repose. La hauteur (comme vous vous en doutez) est à quelle hauteur elle est par rapport au sol: la distance entre la base et le côté opposé. Mesurez toujours la hauteur à un angle droit (90 degrés) par rapport à la base.
- Dans les carrés et les rectangles, la hauteur est égale à la longueur d'un côté vertical, puisque ces côtés sont à angle droit par rapport au sol.
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Comparez les triangles et les parallélogrammes. Il existe une relation simple entre ces deux formes. Coupez n'importe quel parallélogramme en deux le long de la diagonale et il se divise en deux triangles égaux. De même, si vous avez deux triangles identiques, vous pouvez toujours les coller ensemble pour créer un parallélogramme. Cela signifie que l'aire de tout triangle peut être écrite comme A = 0,5bh, exactement la moitié de la taille d'un parallélogramme correspondant.
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Trouvez la base du triangle isocèle. Vous avez maintenant la formule, mais que signifient exactement «base» et «hauteur» dans un triangle isocèle? La base est la partie facile: il suffit d'utiliser le troisième côté inégal de l'isocèle.
- Par exemple, si votre triangle isocèle a des côtés de 5 centimètres, 5 cm et 6 cm, utilisez 6 cm comme base.
- Si votre triangle a trois côtés égaux (équilatéraux), vous pouvez en choisir un comme base. Un triangle équilatéral est un type spécial d'isocèle, mais vous pouvez trouver son aire de la même manière.
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Tracez une ligne entre la base et le sommet opposé. Assurez-vous que la ligne touche la base à angle droit. La longueur de cette ligne correspond à la hauteur de votre triangle, alors indiquez-la h. Une fois que vous calculez la valeur de h, vous pourrez trouver la zone.
- Dans un triangle isocèle, cette ligne atteindra toujours la base à son point médian exact.
Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle lorsqu'on lui donne deux côtés?
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Regardez la moitié de votre triangle isocèle. Notez que la ligne de hauteur divise votre triangle isocèle en deux triangles rectangles identiques. Regardez l'un d'entre eux et identifiez les trois côtés:
- L'un des côtés courts est égal à la moitié de la base: ${\ frac {b} {2}}$ .
- L'autre côté court est la hauteur, h.
- L'hypoténuse du triangle rectangle est l'un des deux côtés égaux de l'isocèle. Appelons cela s.
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Mettez en place le théorème de Pythagore. Chaque fois que vous connaissez deux côtés d'un triangle rectangle et que vous voulez trouver le troisième, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore: (côté 1) ² + (côté 2) ² = (hypoténuse) ² Remplacez les variables que nous utilisons pour ce problème pour get (b2) 2 + h2 = s2 {\ displaystyle ({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}} $({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$ .
- Vous avez probablement appris le théorème de Pythagore sous la forme $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . L'écrire comme «côtés» et «hypoténuse» évite la confusion avec les variables de votre triangle.
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Résolvez pour h. N'oubliez pas que la formule de l'aire utilise b et h, mais vous ne connaissez pas encore la valeur de h. Réorganisez la formule à résoudre pour h:
- $({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$
  $H ^ {2} = s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2}$
  $H = {\ sqrt (} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2})$ .
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Branchez les valeurs de votre triangle pour trouver h. Maintenant que vous connaissez cette formule, vous pouvez l'utiliser pour n'importe quel triangle isocèle dont vous connaissez les côtés. Branchez simplement la longueur de la base pour b et la longueur de l'un des côtés égaux pour s, puis calculez la valeur de h.
- Par exemple, vous avez un triangle isocèle avec des côtés de 5 cm, 5 cm et 6 cm. b = 6 et s = 5.
- Remplacez-les dans votre formule:
  $H = {\ sqrt (} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 5 ^ {2} - ({\ frac {6} {2}}) ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 25-3 ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 25-9)$
  $H = {\ sqrt (} 16)$
  $H = 4$ cm.
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Branchez la base et la hauteur dans votre formule de surface. Vous avez maintenant ce dont vous avez besoin pour utiliser la formule du début de cette section: Area = 0,5bh. Branchez simplement les valeurs que vous avez trouvées pour b et h dans cette formule et calculez la réponse. N'oubliez pas d'écrire votre réponse en unités carrées.
- Pour continuer l'exemple, le triangle 5-5-6 avait une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm.
- A = 0,5bh
  A = 0,5 (6cm) (4cm)
  A = 12cm².
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Essayez un exemple plus difficile. La plupart des triangles isocèles sont plus difficiles à travailler que le dernier exemple. La hauteur contient souvent une racine carrée qui ne se simplifie pas en un entier. Si cela se produit, laissez la hauteur sous la forme d'une racine carrée sous la forme la plus simple. Voici un exemple:
- Quelle est l'aire d'un triangle avec des côtés de 8 cm, 8 cm et 4 cm?
- Laissez le côté inégal, 4 cm, être la base b.
- La hauteur $H = {\ sqrt {8 ^ {2} - ({\ frac {4} {2}}) ^ {2}}}$
  $= {\ sqrt {64-4}}$
  $= {\ sqrt {60}}$
- Simplifiez la racine carrée en trouvant des facteurs: $H = {\ sqrt {60}} = {\ sqrt {4 * 15}} = {\ sqrt {4}} {\ sqrt {15}} = 2 {\ sqrt {15}}.$
- Area $= {\ frac {1} {2}} bh$
  $= {\ frac {1} {2}} (4) (2 {\ sqrt {15}})$
  $= 4 {\ sqrt {15}}$
- Laissez cette réponse telle qu'elle est écrite ou entrez-la dans une calculatrice pour trouver une estimation décimale (environ 15,49 centimètres carrés).

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle si la base mesure 10 cm et la hauteur 8 cm?

Méthode 2 sur 2: utilisation de la trigonométrie

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Commencez par un côté et un angle. Si vous connaissez un peu de trigonométrie, vous pouvez trouver l'aire d'un triangle isocèle même si vous ne connaissez pas la longueur de l'un de ses côtés. Voici un exemple de problème où vous ne connaissez que les éléments suivants:
- La longueur s des deux côtés égaux est de 10 cm.
- L'angle θ entre les deux côtés égaux est de 120 degrés.
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Divisez les isocèles en deux triangles rectangles. Tracez une ligne à partir du sommet entre les deux côtés égaux, qui frappe la base à angle droit. Vous avez maintenant deux triangles rectangles égaux.
- Cette ligne divise θ parfaitement en deux. Chaque triangle rectangle a un angle de 0,5θ, ou dans ce cas (0,5) (120) = 60 degrés.
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Utilisez la trigonométrie pour trouver la valeur de h. Maintenant que vous avez un triangle rectangle, vous pouvez utiliser les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Dans l'exemple de problème, vous connaissez l'hypoténuse et vous voulez trouver la valeur de h, le côté adjacent à l'angle connu. Utilisez le fait que cosinus = adjacent / hypoténuse pour résoudre h:
- cos (θ / 2) = h / s
- cos (60°) = h / 10
- h = 10cos (60°)
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Trouvez la valeur du côté restant. Il reste un côté inconnu du triangle rectangle, que vous pouvez appeler x. Résolvez ce problème en utilisant la définition sinus = opposé / hypoténuse:
- sin (θ / 2) = x / s
- sin (60°) = x / 10
- x = 10sin (60°)
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Reliez x à la base du triangle isocèle. Vous pouvez maintenant effectuer un «zoom arrière» sur le triangle isocèle principal. Sa base totale b est égale à 2 x, car elle a été divisée en deux segments de longueur x chacun.
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Insérez vos valeurs pour h et b dans la formule de base de l'aire. Maintenant que vous connaissez la base et la hauteur, vous pouvez vous fier à la formule standard A = 0,5bh:
- $A = {\ frac {1} {2}} bh$
  $= {\ frac {1} {2}} (2x) (10cos60)$
  $= (10sin60) (10cos60)$
  $= 100sin (60) cos (60)$
- Vous pouvez entrer cela dans une calculatrice (réglée sur des degrés), ce qui vous donne une réponse d'environ 43,3 centimètres carrés. Vous pouvez également utiliser les propriétés de la trigonométrie pour la simplifier à A = 50sin (120°).
Comment puis-je trouver le côté d'un triangle isocèle lorsque seules l'aire et la longueur des côtés égaux sont données?
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Transformez cela en une formule universelle. Maintenant que vous savez comment cela est résolu, vous pouvez vous fier à la formule générale sans passer par le processus complet à chaque fois. Voici ce que vous obtenez si vous répétez ce processus sans utiliser de valeurs spécifiques (et en simplifiant l'utilisation des propriétés de la trigonométrie):
- $A = {\ frac {1} {2}} s ^ {2} sin \ theta$
- s est la longueur de l'un des deux côtés égaux.
- θ est l'angle entre les deux côtés égaux.

Conseils

Si vous avez un triangle rectangle isocèle (deux côtés égaux et un angle de 90 degrés), il est beaucoup plus facile de trouver la zone. Si vous utilisez l'un des côtés courts comme base, l'autre côté court correspond à la hauteur. Maintenant, la formule A = 0,5 b * h se simplifie à 0,5s ², où s est la longueur d'un petit côté.
Les racines carrées ont deux solutions, une positive et une négative, mais vous pouvez ignorer la négative en géométrie. Vous ne pouvez pas avoir un triangle avec une «hauteur négative», par exemple.
Certains problèmes de trigonométrie peuvent vous donner d'autres informations de départ, telles que la longueur de base et un angle (et le fait que le triangle est isocèle). La stratégie de base est la même: diviser les isocèles en triangles rectangles et résoudre la hauteur en utilisant des fonctions trigonométriques.

Lisez aussi: Comment trouver l'aire d'un carré en utilisant la longueur de sa diagonale?

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle?

Pas

Méthode 1 sur 2: trouver la zone à partir des longueurs latérales

Méthode 2 sur 2: utilisation de la trigonométrie

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