Comment trouver l'aire d'un quadrilatère?

Avant de pouvoir trouver l'aire d'un quadrilatère régulier, commencez par identifier le type de quadrilatère dans le problème, car différents types de quadrilatères nécessitent des équations différentes. Pour les rectangles ou les losanges, multipliez simplement la base par la hauteur pour trouver l'aire. Pour les carrés, multipliez un côté par lui-même pour obtenir l'aire. Si vous avez un parallélogramme, multipliez les diagonales et divisez par 2 pour obtenir l'aire. Pour trouver l'aire d'un trapèze, additionnez la base et la hauteur et divisez ce nombre par 2 fois la hauteur. Si vous voulez trouver l'aire d'un quadrilatère irrégulier, continuez à lire l'article!

Paulette-Claudine Bernier
Paulette-Claudine Bernier
• 13 min de lecture
Les additionner pour trouver l'aire du quadrilatère
Puis-je diviser le quadrilatère en deux triangles, trouver l'aire de chacun et les additionner pour trouver l'aire du quadrilatère?

On vous a donc assigné un devoir qui vous oblige à trouver l'aire d'un quadrilatère... mais vous ne savez même pas ce qu'est un quadrilatère. Ne vous inquiétez pas, l'aide est là! Un quadrilatère est une forme à quatre côtés - les carrés, les rectangles et les losanges ne sont que quelques exemples. Pour trouver l'aire d'un quadrilatère, il suffit d'identifier le type de quadrilatère avec lequel vous travaillez et de suivre une formule simple. C'est ça!

Méthode 1 sur 4: carrés, rectangles et autres parallélogrammes

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    Savoir identifier un parallélogramme. Un parallélogramme est une forme à quatre côtés avec deux paires de côtés parallèles où les côtés opposés sont de la même longueur. Les parallélogrammes comprennent:
    • Carrés: Quatre côtés, tous de même longueur. Quatre coins, tous à 90 degrés (angles droits).
    • Rectangles: quatre côtés; les côtés opposés ont la même longueur. Quatre coins, tous à 90 degrés.
    • Losanges: Quatre côtés, tous de même longueur. Quatre coins; aucun ne doit être à 90 degrés, mais les coins opposés doivent avoir les mêmes angles.
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    Multipliez la base par la hauteur pour obtenir l'aire d'un rectangle. Pour trouver l'aire d'un rectangle, vous avez besoin de deux mesures: la largeur ou la base (le côté le plus long du rectangle) et la longueur ou la hauteur (le côté le plus court du rectangle). Ensuite, multipliez-les simplement ensemble pour obtenir la zone. Autrement dit:
    • Aire = base × hauteur, ou A = b × h pour faire court.
    • Exemple: Si la base d'un rectangle a une longueur de 25 centimètres et la hauteur a une longueur de 13 centimètres, alors l'aire du rectangle est simplement de 10 × 5 (b × h) = 50 pouces carrés.
    • N'oubliez pas que lorsque vous recherchez l'aire d'une forme, vous utiliserez des unités carrées (pouces carrés, m2, mètres carrés, etc.) pour votre réponse.
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    Multipliez un côté par lui-même pour trouver l'aire d'un carré. Les carrés sont essentiellement des rectangles spéciaux, vous pouvez donc utiliser la même formule pour trouver leur aire. Cependant, étant donné que les côtés d'un carré ont tous la même longueur, vous pouvez utiliser le raccourci consistant à multiplier simplement la longueur d'un côté par lui-même. C'est la même chose que de multiplier la base du carré par sa hauteur car la base et la hauteur sont tout simplement toujours les mêmes. Utilisez l'équation suivante:
    • Aire = côté × côté ou A = s 2
    • Exemple: Si un côté d'un carré a une longueur de 4 mètres, (t = 4), alors l'aire de ce carré est simplement t 2, ou 4 x 4 = 16 m2.
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    Multipliez les diagonales et divisez par deux pour trouver l'aire d'un losange. Soyez prudent avec celui-ci - lorsque vous trouvez l'aire d'un losange, vous ne pouvez pas simplement multiplier deux côtés adjacents. Au lieu de cela, trouvez les diagonales (les lignes reliant chaque ensemble de coins opposés), multipliez-les et divisez par deux. Autrement dit:
    • Aire = (diag. 1 × diag. 2)/2 ou A = (d 1 × d 2)/2
    • Exemple: Si un losange a des diagonales d'une longueur de 6 mètres et 8 mètres, alors son aire est simplement (6 × 8)/2 = 44 = 24 mètres carrés.
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    Vous pouvez également utiliser base × hauteur pour trouver l'aire d'un losange. Techniquement, vous pouvez également utiliser la formule de base multipliée par la hauteur pour trouver l'aire d'un losange. Ici, "base" et "hauteur" ne signifient pas que vous pouvez simplement multiplier deux côtés adjacents, cependant. Tout d'abord, choisissez un côté pour être la base. Ensuite, tracez une ligne de la base au côté opposé. La ligne doit rencontrer les deux côtés à 90 degrés. La longueur de ce côté est ce que vous devez utiliser pour la hauteur.
    • Exemple: Un losange a des côtés de 10 milles et 5 milles. La distance en ligne droite entre les côtés de 10 milles (16,1 km) est de 3 milles (4,8 km). Si vous voulez trouver l'aire du losange, vous devez multiplier 10 × 3 = 30 miles carrés.
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    Sachez que les formules du losange et du rectangle fonctionnent pour les carrés. La formule côté × côté donnée ci-dessus pour les carrés est de loin le moyen le plus pratique de trouver l'aire de ces formes. Cependant, comme les carrés sont techniquement à la fois des rectangles et des losanges ainsi que des carrés, vous pouvez utiliser les formules de surface de ces formes pour les carrés et obtenir la bonne réponse. Autrement dit, pour les carrés:
    • Aire = base × hauteur ou A = b × h
    • Aire = (diag. 1 × diag. 2)/2 ou A = (d 1 × d 2)/2
    • Exemple: Une forme à quatre côtés a deux côtés adjacents d'une longueur de 4 mètres. Vous pouvez trouver l'aire de ce carré en multipliant sa base par sa hauteur: 4 × 4 = 16 mètres carrés.
    • Exemple: les diagonales d'un carré sont toutes deux égales à 10 centimètres. Vous pouvez trouver l'aire de ce carré avec la formule diagonale: (10 × 10)/2 = 100/2 = 50 centimètres carrés.
Utilisez la formule de l'aire du triangle pour trouver l'aire du quadrilatère
Utilisez la formule de l'aire du triangle pour trouver l'aire du quadrilatère.

Méthode 2 sur 4: trouver l'aire d'un trapèze

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    Savoir identifier un trapèze. Un trapèze est un quadrilatère dont au moins deux côtés sont parallèles l'un à l'autre. Ses coins peuvent avoir n'importe quel angle. Chacun des quatre côtés d'un trapèze peut avoir une longueur différente.
    • Il existe deux manières différentes de trouver l'aire d'un trapèze, en fonction des informations dont vous disposez. Ci-dessous, vous verrez comment utiliser les deux.
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    Trouvez la hauteur du trapèze. La hauteur d'un trapèze est la ligne perpendiculaire reliant les deux côtés parallèles. Ce ne sera généralement pas la même longueur que l'un des côtés, car les côtés sont généralement pointés en diagonale. Vous en aurez besoin pour les deux équations de surface. Voici comment trouver la hauteur d'un trapèze:
    • Trouvez la plus courte des deux lignes de base (les côtés parallèles). Placez votre crayon dans le coin entre cette ligne de base et l'un des côtés non parallèles. Tracez une ligne droite qui rencontre les deux lignes de base à angle droit. Mesurez cette ligne pour trouver la hauteur.
    • Vous pouvez aussi parfois utiliser la trigonométrie pour déterminer la hauteur si la ligne de hauteur, la base et l'autre côté forment un triangle rectangle. Consultez notre article sur le trig pour plus d'informations.
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    Trouvez l'aire du trapèze en utilisant la hauteur et la longueur des bases. Si vous connaissez la hauteur du trapèze ainsi que la longueur des deux bases, utilisez l'équation suivante:
    • Aire = (base 1 + base 2)/2 × hauteur ou A = (a+b)/2 × h
    • Exemple: Si vous avez un trapèze avec une base de 7 mètres, une autre base de 11 mètres, et la ligne de hauteur les reliant est de 2 mètres de long, vous pouvez trouver son aire comme ceci: (7 + 11)/2 × 2 = (18)/2 × 2 = 9 × 2 = 18 mètres carrés.
    • Si la hauteur est de 10 et que les bases ont des longueurs de 7 et 9, alors vous pouvez trouver la zone simplement en procédant comme suit: (7 + 9)/2 * 10 = (13) * 10 = 8 * 10 = 80
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    Multipliez le segment médian par deux pour trouver l'aire d'un trapèze. Le segment médian est une ligne imaginaire qui est parallèle aux lignes inférieure et supérieure du trapèze et est exactement à la même distance de chacune. Étant donné que le segment médian est toujours égal à (Base 1 + Base 2)/2, si vous le connaissez, vous pouvez utiliser un raccourci pour la formule trapézoïdale:
    • Aire = segment médian × hauteur ou A = m × h
    • Essentiellement, c'est la même chose que d'utiliser la formule d'origine, sauf que vous utilisez "m" au lieu de (a + b)/2.
    • ' Exemple:' Le segment médian du trapèze dans l'exemple ci-dessus mesure 9 mètres de long. Cela signifie que nous pouvons trouver l'aire du trapèze simplement en multipliant 9 × 2 = 18 mètres carrés, comme avant.
Avant de pouvoir trouver l'aire d'un quadrilatère régulier
Avant de pouvoir trouver l'aire d'un quadrilatère régulier, commencez par identifier le type de quadrilatère dans le problème, car différents types de quadrilatères nécessitent des équations différentes.

Méthode 3 sur 4: trouver la zone d'un cerf-volant

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    Savoir identifier un cerf-volant. Un cerf-volant est une forme à quatre côtés avec deux paires de côtés de même longueur qui sont adjacents l'un à l'autre, pas opposés l'un à l'autre. Comme leur nom l'indique, les cerfs-volants ressemblent à des cerfs-volants réels.
    • Il existe deux manières différentes de trouver la zone d'un cerf-volant en fonction des informations dont vous disposez. Vous trouverez ci-dessous comment utiliser les deux.
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    Utilisez la formule diagonale du losange pour trouver l'aire d'un cerf-volant. Puisqu'un losange n'est qu'un type spécial de cerf-volant où les côtés sont de la même longueur, vous pouvez également utiliser la formule de la surface du losange diagonal pour trouver la surface d'un cerf-volant. Pour rappel, les diagonales sont les lignes droites entre deux coins opposés du cerf-volant. Comme un losange, la formule de l'aire du cerf-volant est:
    • Aire = (diag. 1 × diag 2.)/2 ou A = (d 1 × d 2)/2
    • Exemple: Si un cerf-volant a des diagonales de 19 mètres et 5 mètres de long, alors son aire est simplement (19 × 5)/2 = 92,5 = 47,5 mètres carrés.
    • Si vous ne connaissez pas les longueurs des diagonales et ne pouvez pas les mesurer, vous pouvez utiliser la trigonométrie pour les calculer. Voir notre article sur la recherche de l'aire d'un cerf-volant pour plus d'informations.
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    Utilisez les longueurs des côtés et l'angle entre eux pour trouver la zone. Si vous connaissez les deux valeurs différentes pour les longueurs des côtés et l'angle au coin entre ces côtés, vous pouvez résoudre l'aire du cerf-volant avec les principes de la trigonométrie. Cette méthode nécessite de savoir faire des fonctions sinus (ou au moins d'avoir une calculatrice avec une fonction sinus). Consultez notre article sur le trig pour plus d'informations ou utilisez la formule ci-dessous:
    • Aire = (côté 1 × côté 2) × sin (angle) ou A = (s 1 × s 2) × sin(θ) (où θ est l'angle entre les côtés 1 et 2).
    • Exemple: Vous avez un cerf-volant avec deux côtés de longueur 6 mètres et deux côtés de longueur 4 mètres. L'angle entre eux est d'environ 120 degrés. Dans ce cas, vous pouvez résoudre pour la zone comme ceci: (6 × 4) × sin(120) = 24 × 0,866 = 20,78 m2
    • Notez que vous devez utiliser les deux côtés différents et l'angle entre eux ici - l'utilisation du jeu de côtés de même longueur ne fonctionnera pas.
Si vous voulez trouver l'aire d'un quadrilatère irrégulier
Si vous voulez trouver l'aire d'un quadrilatère irrégulier, continuez à lire l'article!

Méthode 4 sur 4: résolution de n'importe quel quadrilatère

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    Trouvez les longueurs des quatre côtés. Votre quadrilatère n'appartient-il à aucune des catégories ci-dessus (par exemple, a-t-il des côtés de longueurs différentes et zéro ensemble de côtés parallèles?) Croyez-le ou non, il existe des formules que vous pouvez utiliser pour déterminer l'aire de n'importe quel quadrilatère, quelle que soit sa forme. Dans cette section, vous trouverez comment utiliser le plus courant. Notez que cette formule nécessite des connaissances en trigonométrie (encore une fois, voici notre guide de trig de base.
    • Tout d'abord, vous devez trouver les longueurs de chacun des quatre côtés du quadrilatère. Pour les besoins de cet article, nous les étiqueterons a, b, c et d. Les côtés a et c sont opposés l'un à l'autre et les côtés b et d sont opposés l'un à l'autre.
    • Exemple: Si vous avez un quadrilatère de forme étrange qui ne correspond à aucune des catégories ci-dessus, commencez par mesurer ses quatre côtés. Disons qu'ils ont des longueurs de 12, 9, 5 et 36 centimètres. Dans les étapes ci-dessous, vous utiliserez ces informations pour trouver la zone de la forme.
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    Trouvez les angles entre a et d et b et c. Lorsque vous travaillez avec un quadrilatère irrégulier, vous ne pouvez pas trouver la zone uniquement sur les côtés. Continuez en trouvant deux des angles opposés. Aux fins de cette section, nous utiliserons l'angle A entre les côtés a et d, et l'angle C entre les côtés b et c. Cependant, vous pouvez également le faire avec les deux autres angles opposés.
    • Exemple: Disons que dans votre quadrilatère, A est égal à 80 degrés et C est égal à 110 degrés. Dans l'étape suivante, vous utiliserez ces valeurs pour trouver la superficie totale.
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    Utilisez la formule de l'aire du triangle pour trouver l'aire du quadrilatère. Imaginez qu'il y ait une ligne droite du coin entre a et b au coin entre c et d. Cette ligne diviserait le quadrilatère en deux triangles. Puisque l'aire d'un triangle est ab sin C, où C est l'angle entre les côtés a et b, vous pouvez utiliser cette formule deux fois (une fois pour chacun de vos triangles imaginaires) pour obtenir l'aire totale du quadrilatère. Autrement dit, pour tout quadrilatère:
    • Aire = 0,5 côté 1 × côté 4 × sin (angle côté 1&4) + 0,5 × côté 2 × côté 3 × sin (angle côté 2&3) ou
    • Aire = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
    • Exemple: Vous avez déjà les côtés et les angles dont vous avez besoin, alors résolvons:
      = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110)
      = 84 × péché (80) + 22,5 × péché (110)
      = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939
      = 82,66 + 21,13 = 103,79 pouces carrés
    • Notez que si vous essayez de trouver l'aire d'un parallélogramme, dans lequel les angles opposés sont égaux, l'équation se réduit à Aire = 0,5*(ad + bc) * sin A.

Conseils


Lisez aussi: Comment déterminer les pouces carrés?

Questions et réponses

  • Comment s'appelle le quadrilatère qui a la plus grande aire?
    Un carré a une aire plus grande que tout autre quadrilatère du même périmètre.
  • Quelle est l'aire d'un secteur de cercle?
    Si vous connaissez l'angle au centre du secteur, divisez cet angle par 360°, puis multipliez la fraction résultante par πr². Si vous connaissez la longueur de l'arc du secteur, vous pouvez multiplier cette longueur par le rayon, puis diviser par 2.
  • Lors de la recherche de l'aire d'un quadrilatère, la formule peut-elle être égale au produit des diagonales?
    Si les diagonales sont perpendiculaires, utilisez la moitié du produit. S'ils ne sont pas perpendiculaires, c'est plus compliqué.
  • Puis-je diviser le quadrilatère en deux triangles, trouver l'aire de chacun et les additionner pour trouver l'aire du quadrilatère?
    Oui. Si vous connaissez la base et la hauteur de chaque triangle, vous pouvez simplement additionner les deux zones. Cependant, il n'est pas toujours possible de connaître les bases et les hauteurs.
  • Que dois-je faire si j'ai quatre côtés dans un trapèze mais pas d'angle?
    Si les côtés inclinés sont égaux, vous pouvez facilement trouver la hauteur en utilisant la symétrie et le théorème de Pythagore. Si vous avez quatre côtés arbitraires, vous pouvez appliquer la même idée mais devrez résoudre un système d'équations quadratiques. Choisissez des variables pour le surplomb gauche, le surplomb droit et la hauteur, et obtenez une équation linéaire et deux équations quadratiques les reliant.
  • Comment calculer l'aire d'un parallélogramme?
    Calculez comme suit: Aire = base multipliée par la hauteur.
  • Et si j'ai un quadrilatère sans angle possible entre a,b,c,d?
    Sans connaître aucun angle, vous ne pouvez pas trouver de côtés, de périmètre ou de surface.
  • Les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires entre elles et les longueurs sont de 15 cm et 20 cm. Quelle est l'aire du quadrilatère?
    Un quadrilatère à diagonales perpendiculaires est un losange ou un carré. Voir la méthode 1 étape 4 ci-dessus.
  • Comment pourrais-je connaître l'angle du quadrilatère?
    En supposant que l'on ne vous donne pas le ou les angles, vous devez soit utiliser un rapporteur, soit analyser le quadrilatère et utiliser la trigonométrie.
  • Existe-t-il une formule universelle pour trouver l'aire d'un quadrilatère?
    Si c'est un quadrilatère régulier, c'est la base multipliée par la hauteur. Si ce n'est pas un quadrilatère régulier, il n'y a pas de formule applicable. Néanmoins, l'aire d'un quadrilatère irrégulier peut être calculée au moyen de la géométrie et/ou de la trigonométrie.

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