Comment calculer l'aire d'un triangle?

Pour calculer l'aire d'un triangle, commencez par mesurer 1 côté du triangle pour obtenir la base du triangle.

La façon la plus courante de trouver l'aire d'un triangle est de prendre la moitié de la base multipliée par la hauteur. De nombreuses autres formules existent, cependant, pour trouver l'aire d'un triangle, en fonction des informations que vous connaissez. En utilisant des informations sur les côtés et les angles d'un triangle, il est possible de calculer l'aire sans connaître la hauteur.

Méthode 1 sur 4: utilisation de la base et de la hauteur

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Trouvez la base et la hauteur du triangle. La base est un côté du triangle. La hauteur est la mesure du point le plus haut d'un triangle. On le trouve en traçant une ligne perpendiculaire de la base au sommet opposé. Cette information devrait vous être donnée ou vous devriez être en mesure de mesurer les longueurs.
- Par exemple, vous pourriez avoir un triangle avec une base de 5 cm de long et une hauteur de 3 cm de long.
2

Définissez la formule de l'aire d'un triangle. La formule est ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (bh)$ , où $B$ est la longueur de la base du triangle, et $H$ est la hauteur du triangle.
3
Branchez la base et la hauteur dans la formule. Multipliez les deux valeurs ensemble, puis multipliez leur produit par 12 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} ${\ frac {1} {2}}$ . Cela vous donnera l'aire du triangle en unités carrées.
- Par exemple, si la base de votre triangle est de 5 cm et la hauteur de 3 cm, vous calculez:
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (bh)$
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (5) (3)$
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (15)$
  ${\ text {area}} = 7,5$
  Donc, l'aire d'un triangle avec une base de 5 cm et une hauteur de 3 cm est de 7,5 centimètres carrés.
4
Trouvez l'aire d'un triangle rectangle. Puisque deux côtés d'un triangle rectangle sont perpendiculaires, l'un des côtés perpendiculaires sera la hauteur du triangle. L'autre côté sera la base. Ainsi, même si la hauteur et / ou la base ne sont pas précisées, vous les recevez si vous connaissez les longueurs des côtés. Ainsi, vous pouvez utiliser la formule Area = 12 (bh) {\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ frac {1} {2}} (bh)} ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (bh)$ pour trouver la zone.
- Vous pouvez également utiliser cette formule si vous connaissez la longueur d'un côté, plus la longueur de l'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle et est opposé à l'angle droit. N'oubliez pas que vous pouvez trouver une longueur de côté manquante d'un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore ( $A ^ {{2}} + b ^ {{2}} = c ^ {{2}}$ ).
- Par exemple, si l'hypoténuse d'un triangle est le côté c, la hauteur et la base seraient les deux autres côtés (a et b). Si vous savez que l'hypoténuse mesure 5 cm et la base 4 cm, utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la hauteur:
  $A ^ {{2}} + b ^ {{2}} = c ^ {{2}}$
  $A ^ {{2}} + 4 ^ {{2}} = 5 ^ {{2}}$
  $A ^ {{2}} + 16 = 25$
  $A ^ {{2}} + 16-16 = 25-16$
  $A ^ {{2}} = 9$
  $A = 3$
  Maintenant, vous pouvez branchez les deux côtés perpendiculaires (a et b) dans la formule de l'aire, en remplaçant la base et la hauteur:
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (bh)$
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (4) (3)$
  ${\ text {area}} = {\ frac {1} {2}} (12)$
  ${\ text {area}} = 6$

Comment calculer la hauteur d'un triangle si je connais l'aire et la base?

Méthode 2 sur 4: utilisation des longueurs de côté

1
Calculez le demi-mètre du triangle. Le demi-périmètre d'une figure est égal à la moitié de son périmètre. Pour trouver le demi-mètre, calculez d'abord le périmètre d'un triangle en additionnant la longueur de ses trois côtés. Ensuite, multipliez par 12 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} ${\ frac {1} {2}}$ .
- Par exemple, si un triangle a trois côtés de 5 cm, 4 cm et 3 cm de long, le demi-mètre est indiqué par:
  $S = {\ frac {1} {2}} (3 + 4 + 5)$
  $S = {\ frac {1} {2}} (12) = 6$
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Préparez la formule du héron. La formule est ${\ text {area}} = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}$ , où $S$ est le demi-diamètre du triangle, et $UNE$ , $B$ et $C$ sont les longueurs des côtés du triangle.
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Branchez le demi-mètre et les longueurs latérales dans la formule. Assurez-vous de remplacer le demi-diamètre par chaque instance de s {\ displaystyle s} $S$ dans la formule.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}$
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {6 (6-3) (6-4) (6-5)}}$
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Calculez les valeurs entre parenthèses. Soustrayez la longueur de chaque côté du demi-mètre. Ensuite, multipliez ces trois valeurs ensemble.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {6 (6-3) (6-4) (6-5)}}$
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {6 (3) (2) (1)}}$
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {6 (6)}}$
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Multipliez les deux valeurs sous le signe radical. Ensuite, trouvez leur racine carrée. Cela vous donnera l'aire du triangle en unités carrées.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {6 (6)}}$
  ${\ text {area}} = {\ sqrt {36}}$
  ${\ text {area}} = 6$
  Ainsi, l'aire du triangle est de 6 centimètres carrés.

L'aire d'un triangle avec une base de 5 cm — Ainsi, l'aire d'un triangle avec une base de 5 cm et une hauteur de 3 cm est de 7,5 centimètres carrés.

Méthode 3 sur 4: utilisation d'un côté d'un triangle équilatéral

1
Trouvez la longueur d'un côté du triangle. Un triangle équilatéral a trois longueurs de côté égales et trois mesures d'angle égal, donc si vous connaissez la longueur d'un côté, vous connaissez la longueur des trois côtés.
- Par exemple, vous pourriez avoir un triangle avec trois côtés de 6 cm de long.
2

Définissez la formule de l'aire d'un triangle équilatéral. La formule est ${\ text {area}} = (s ^ {{2}}) {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}}$ , où $S$ équivaut à la longueur d'un côté du triangle équilatéral.
3
Branchez la longueur du côté dans la formule. Assurez-vous de remplacer la variable s {\ displaystyle s} $S$ , puis mettez la valeur au carré.
- Par exemple, si le triangle équilatéral a des côtés de 6 cm de long, vous calculeriez:
  ${\ text {area}} = (s ^ {{2}}) {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}}$
  ${\ text {area}} = (6 ^ {{2}}) {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}}$
  ${\ text {area}} = (36) {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}}$
4
Multipliez le carré par ${\ sqrt {3}}$ . Il est préférable d'utiliser la fonction racine carrée de votre calculatrice pour une réponse plus précise. Sinon, vous pouvez utiliser 1732 pour la valeur arrondie de 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}} ${\ sqrt {3}}$ .
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = (36) {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}}$
  ${\ text {area}} = {\ frac {62,352} {4}}$
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Divisez le produit par 4. Cela vous donnera l'aire du triangle en unités carrées.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = {\ frac {62,352} {4}}$
  ${\ text {area}} = 15 588$
  Donc, la zone d'un triangle équilatéral avec des côtés de 6 cm de long est d'environ 15,59 centimètres carrés.

Méthode 4 sur 4: utilisation de la trigonométrie

1
Trouvez la longueur de deux côtés adjacents et l'angle inclus. Les côtés adjacents sont les deux côtés d'un triangle qui se rencontrent à un sommet. L'angle inclus est l'angle entre ces deux côtés.
- Par exemple, vous pourriez avoir un triangle avec deux côtés adjacents mesurant 150 cm et 231 cm de longueur. L'angle entre eux est de 123 degrés.
2

Configurez la formule de trigonométrie pour l'aire d'un triangle. La formule est ${\ text {area}} = {\ frac {bc} {2}} \ sin A$ , où $B$ et $C$ sont les côtés adjacents du triangle, et $UNE$ est l'angle entre eux.
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Branchez les longueurs des côtés dans la formule. Assurez-vous de remplacer les variables b {\ displaystyle b} $B$ et c {\ displaystyle c} $C$ . Multipliez leurs valeurs, puis divisez par 2.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = {\ frac {bc} {2}} \ sin A$
  ${\ text {area}} = {\ frac {(150) (231)} {2}} \ sin A$
  ${\ text {area}} = {\ frac {(34650)} {2}} \ sin A$
  ${\ text {area}} = 17325 \ sin A$
4
Branchez le sinus de l'angle dans la formule. Vous pouvez trouver le sinus à l'aide d'une calculatrice scientifique en tapant la mesure de l'angle puis en appuyant sur le bouton "SIN".
- Par exemple, le sinus d'un angle de 123 degrés est 0,83867, donc la formule ressemblera à ceci:
  ${\ text {area}} = 17325 \ sin A$
  ${\ text {area}} = 17325 (0,83867)$
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Multipliez les deux valeurs. Cela vous donnera l'aire du triangle en unités carrées.
- Par exemple:
  ${\ text {area}} = 17325 (0,83867)$
  ${\ text {area}} = 14529,96$ .
  Ainsi, l'aire du triangle est d'environ 14530 centimètres carrés.

Il est possible de calculer l'aire sans connaître la hauteur — En utilisant des informations sur les côtés et les angles d'un triangle, il est possible de calculer l'aire sans connaître la hauteur.

Conseils

Si vous ne savez pas exactement pourquoi la formule de hauteur de base fonctionne de cette façon, voici une explication rapide. Si vous créez un deuxième triangle identique et que vous ajustez les deux copies ensemble, il formera soit un rectangle (deux triangles rectangles), soit un parallélogramme (deux triangles non rectangles). Pour trouver l'aire d'un rectangle ou d'un parallélogramme, multipliez simplement la base par la hauteur. Puisqu'un triangle est la moitié d'un rectangle ou d'un parallélogramme, vous devez donc résoudre pour la moitié de la base fois la hauteur.

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