Comment dériver le théorème de Pythagore de la formule du héron?

En utilisant la FormulaArea de Heron = racine carrée de s(sa)(sb)(sc), où s est le demi-périmètre du triangle donné par (a + b + c) / 2.

Nous allons dériver le théorème de Pythagore de la formule de Heron pour l'aire d'un triangle. Ce n'est pas la meilleure preuve car elle implique probablement un raisonnement circulaire car la plupart des preuves de la formule de Heron nécessitent soit le théorème de Pythagore, soit des résultats plus solides de la trigonométrie. Pour une preuve plus élémentaire, voir Prouver le théorème de Pythagore.

Pas

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Considérons un triangle rectangle ABC, rectangle au sommet C, avec des côtés comme a, b et c où a et b sont des jambes et c est l'hypoténuse.
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Notre objectif est de prouver a ² + b ² = c ²
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L'aire peut s'écrire de deux manières
1. En utilisant la FormulaArea de Heron = racine carrée de s(sa)(sb)(sc), où s est le demi-périmètre du triangle donné par (a + b + c) / 2
2. En utilisant la formule généraleArea = (Base x Height)/2 = (axb)/2
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Égaliser les deux formules différentes pour l'aire du triangle rectangle.
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Branchez (a + b + c)/2 pour s et simplifiez un peu.
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Carré des deux côtés.
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Effacer les dénominateurs en multipliant les deux côtés par 16.
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Termes de groupe pour se préparer à développer le côté gauche.
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Développez en utilisant la formule générale (u + v)(u - V) = u ² - V ².
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Les termes du groupe se préparent à s'étendre à nouveau.
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Développez à nouveau pour obtenir 4 a ²b ² − (a ² + b ² − c ²) ² = 4a ² b ²

Ajoutez c2 des deux côtés pour obtenir le théorème de Pythagore.
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Soustraire 4 a ²b ² des deux côtés en laissant (a ² + b ² − c ²) ² = 0
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Prenez la racine carrée des deux côtés. a ² + b ² − c ² = 0
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Ajoutez c ² des deux côtés pour obtenir le théorème de Pythagore. Fini!

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