Comment trouver l'aire d'un carré en utilisant la longueur de sa diagonale?

Pour trouver l'aire d'un carré en utilisant la longueur de sa diagonale, utilisez la formule aire = d ^ 2 divisé par 2, où d est la longueur de la diagonale.

La formule la plus courante pour l'aire d'un carré est simple: c'est la longueur du côté au carré, ou s ². Mais parfois, vous ne connaissez que la longueur de la diagonale du carré, entre les sommets opposés. Si vous avez étudié les triangles rectangles, vous pouvez trouver une nouvelle formule d'aire qui utilise cette diagonale comme seule variable.

Partie 1 sur 2: trouver la zone à partir de la diagonale

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Dessinez votre carré. Un carré a quatre côtés égaux. Disons que chacun a une longueur de "s".
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Passez en revue la formule de base de l'aire d'un carré. L'aire d'un carré est égale à sa longueur multipliée par sa largeur. Puisque chaque côté est s, la formule est Area = sxs = s ². Cela sera utile plus tard.
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Rejoignez deux coins opposés pour faire une diagonale. Soit la mesure de cette diagonale d unités. Cette diagonale divise le carré en deux triangles rectangles.

Mettez simplement au carré la longueur de la diagonale, puis divisez ce nombre par 2 pour trouver l'aire du carré.
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Appliquez le théorème de Pythagore à l'un des triangles. Le théorème de Pythagore est une formule pour trouver l'hypoténuse (côté le plus long) d'un triangle rectangle: (côté un) ² + (côté deux) ² = (hypoténuse) ², ou a2 + b2 = c2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . Maintenant que le carré est divisé en deux, vous pouvez utiliser cette formule sur l'un des triangles rectangles:
- Les deux côtés les plus courts du triangle sont les côtés du carré: chacun a une longueur de s.
- L'hypoténuse est la diagonale du carré, d.
- $S ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}$
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Arrangez l'équation de sorte que s ² soit d'un côté. Rappelez-vous que nous savons déjà que l'aire du carré est égale à s ². Si vous pouvez obtenir s ² seul sur le côté, vous aurez une nouvelle équation pour l'aire:
- $S ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}$
- Simplifier: $2s ^ {2} = d ^ {2}$
- Divisez les deux côtés par deux: $S ^ {2} = {\ frac {d ^ {2}} {2}}$
- Zone = $S ^ {2} = {\ frac {d ^ {2}} {2}}$
- Area = ${\ frac {d ^ {2}} {2}}$
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Utilisez cette formule sur un exemple de carré. Ces étapes ont prouvé que la formule Area = d22 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {2}}} ${\ frac {d ^ {2}} {2}}$ fonctionne pour tous les carrés. Branchez simplement la longueur de la diagonale pour d et résolvez.
- Par exemple, disons qu'un carré a une diagonale qui mesure 10 cm.
- Area = ${\ frac {10 ^ {2}} {2}}$
  = ${\ frac {100} {2}}$
  = 50 centimètres carrés.

Partie 2 sur 2: informations supplémentaires

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Trouvez la diagonale de la longueur d'un côté. Le théorème de Pythagore pour un carré avec un côté s et une diagonale d vous donne la formule 2s2 = d2 {\ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}} $2s ^ {2} = d ^ {2}$ . Résolvez pour d si vous connaissez les longueurs des côtés et que vous voulez trouver la longueur de la diagonale:
- $2s ^ {2} = d ^ {2}$
  ${\ sqrt {2s ^ {2}}} = {\ sqrt {d ^ {2}}}$
  $S {\ sqrt {2}} = d$
- Par exemple, si un carré a des côtés de 18 centimètres, sa diagonale d = 7√5 centimètres, soit environ 25 centimètres.
- Si vous n'avez pas de calculatrice, vous pouvez utiliser 1,4 comme estimation pour √2.
La longueur est de 12 pieds si l'un des côtés est de 12 m. La longueur de la diagonale peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2).
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Trouvez la longueur du côté à partir de la diagonale. Si on vous donne la diagonale et que vous savez que la diagonale d'un carré est s2 {\ displaystyle s {\ sqrt {2}}} $S {\ sqrt {2}}$ , vous pouvez diviser les deux côtés par 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} ${\ sqrt {2}}$ pour obtenir s = d2 {\ displaystyle s = {\ frac {d} {\ sqrt {2}}}} $S = {\ frac {d} {{\ sqrt {2}}}}$ .
- Par exemple, un carré d'une diagonale de 10 cm a des côtés d'une longueur de ${\ frac {10} {{\ sqrt {2}}}} = 7 071$ cm.
- Si vous avez besoin de trouver à la fois la longueur du côté et l'aire à partir de la diagonale, vous pouvez d'abord utiliser cette formule, puis carré rapidement la réponse pour obtenir l'aire: Area $= s ^ {2} = 7071 ^ {2} = 50$ centimètres carrés. C'est un peu moins précis, car ${\ sqrt {2}}$ est un nombre irrationnel qui peut conduire à des erreurs d'arrondi.
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Interprétez la formule de l'aire. Le calcul vérifie la formule Area = d22 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {2}}} ${\ frac {d ^ {2}} {2}}$ , mais y a-t-il un moyen de tester cela directement? Eh bien, d2 {\ displaystyle d ^ {2}} $D ^ {2}$ est l'aire d'un deuxième carré avec la diagonale comme côté. Puisque la formule complète est d22 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {2}}} ${\ frac {d ^ {2}} {2}}$ , vous pouvez penser que ce deuxième carré a exactement deux fois l'aire du carré d'origine. Vous pouvez le tester vous-même:
- Dessinez un carré sur une feuille de papier. Assurez- vous que tous les côtés sont égaux.
- Mesurez la diagonale. Dessinez un deuxième carré en utilisant cette mesure comme longueur du carré.
- Tracez une copie de votre premier carré pour en avoir deux. Découpez les trois carrés.
- Découpez les deux petits carrés dans n'importe quelle forme afin de pouvoir les organiser pour qu'ils s'adaptent à l'intérieur du grand carré. Ils doivent remplir parfaitement l'espace, montrant que la surface du plus grand carré est exactement le double de la surface du plus petit carré.

Conseils

Si vous préférez une approche plus visuelle des mathématiques ou si vous souhaitez apprendre à utiliser des graphiques et des graphiques dans l'art, explorez le chemin des particules de spin en spirale ou parcourez les articles dans Catégorie: imagerie Microsoft Excel, Catégorie: mathématiques, Catégorie: feuilles de calcul ou Catégorie: graphique.

Si vous avez besoin de trouver à la fois la longueur du côté et la zone à partir de la diagonale, vous pouvez d'abord utiliser cette formule, puis carré rapidement la réponse pour obtenir la zone: Superficie en centimètres carrés.
Cette équation simple est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la cristallographie, la chimie et l'art. Par exemple, vous pouvez l'utiliser pour calculer la zone de paysage que vous pouvez voir lors de l'arpentage, ou lorsque vous utilisez la perspective en photographie ou en peinture, en mesurant la distance que vous avez parcourue et en imaginant une grille avec cette distance comme diagonale.
Si vous n'avez pas de calculatrice et que vous avez besoin d'une estimation plus précise de la racine carrée de 2, il existe des moyens de l'estimer à la main. La méthode Newton-Raphson en est un exemple.

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