Comment réduire les matrices en lignes?

L'équation matricielle est le fondement de base de la réduction des lignes.

Si vous avez déjà suivi un cours d'algèbre au collège ou au lycée, vous avez probablement rencontré un problème comme celui-ci: résoudre pour $X$ et $Y.$

${\begin{aligned}and3x+8y=-33\\and9x+y=-30\end{aligned}}$

Comment savoir si la solution est unique ou non unique?

Ces problèmes sont appelés systèmes d'équations. Ils nécessitent souvent que vous manipuliez l'une des équations de manière à obtenir les valeurs des autres variables. Mais que faire si vous avez 5 équations? Ou 50? Ou plus de 200 000, comme beaucoup de problèmes rencontrés dans la vraie vie? Cela devient une tâche beaucoup plus ardue. Une autre façon de résoudre ce problème est l'élimination de Gauss-Jordan, ou la réduction des lignes.

Partie 1 sur 4: mise en place de la matrice

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Déterminez si la réduction des rangées convient au problème. Un système de deux variables n'est pas très difficile à résoudre, donc la réduction des lignes n'a aucun avantage par rapport à la substitution ou à l'élimination normale. Cependant, ce processus devient beaucoup plus lent à mesure que le nombre d'équations augmente. La réduction des rangs permet d'utiliser les mêmes techniques, mais de manière plus systématique. Ci-dessous, nous considérons un système de 4 équations à 4 inconnues.
- ${\begin{aligned}andx_{{1}}+x_{{2}}+2x_{{3}}=1\\and2x_{{1}}-x_{{2}}-2x_{{4}} =-2\\andx_{{1}}-x_{{2}}-x_{{3}}+x_{{4}}=4\\and2x_{{1}}-x_{{2}}+ 2x_{{3}}=0\end{aligned}}$
- Il est utile, par souci de clarté, d'aligner les équations de telle sorte qu'en regardant de haut en bas, les coefficients de chaque variable soient facilement reconnus, d'autant plus que les variables ne sont différenciées que par des indices.
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Comprendre l'équation matricielle. L'équation matricielle Ax=b{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A{\mathbf {x}}={\mathbf {b}}$ est le fondement de base de la réduction des lignes. Cette équation dit qu'une matrice agissant sur un vecteur x{\displaystyle \mathbf {x} } ${\mathbf {x}}$ produit un autre vecteur b.{\displaystyle \mathbf {b}.} ${\mathbf {b}}.$
- Reconnaître que nous pouvons écrire les variables et les constantes comme ces vecteurs. Ici, ${\mathbf {x}}=(x_{{1}},x_{{2}},x_{{3}},x_{{4}}),$ où ${\mathbf {x}}$ est un vecteur colonne. Les constantes peuvent être écrites sous la forme d'un vecteur colonne ${\mathbf {b}}.$
- Ce qui reste, ce sont les coefficients. Ici, nous mettons les coefficients dans une matrice $UNE.$ Assurez-vous que chaque ligne de la matrice correspond à une équation et que chaque colonne correspond à une variable.
- ${\begin{pmatrix}1and1and2and0\\2and-1and0and-2\\1and-1and-1and1\\2and-1and2and0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{{1}}\\x_{{2 }}\\x_{{3}}\\x_{{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\4\\0\end{pmatrix}}$
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Convertissez vos équations sous forme de matrice augmentée. Comme indiqué, une barre verticale sépare les coefficients, écrits sous la forme d'une matrice A,{\displaystyle A,} $UNE,$ des constantes, écrites sous la forme d'un vecteur b.{\displaystyle \mathbf {b}.} ${\mathbf {b}}.$ La barre verticale signale la présence du matrice augmentée (A|b).{\displaystyle (A|\mathbf {b}).} $(a|{\mathbf {b}}).$
- $\gauche({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\2and-1and0and-2and-2\\1and-1and-1and1and4\\2and-1and2and0and0\end{array}}\right)$

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Partie 2 sur 4: forme échelonnée

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Comprendre les opérations élémentaires sur les lignes. Maintenant que nous avons le système d'équations sous forme de matrice, nous devons le manipuler pour obtenir la réponse souhaitée. Il y a trois opérations de ligne que nous pouvons effectuer sur la matrice sans changer la solution. Dans cette étape, une ligne d'une matrice sera notée R,{\displaystyle R,} $R,$ où un indice nous indiquera de quelle ligne il s'agit.
- Échange de ligne. Échangez simplement deux rangées. Ceci est utile dans certaines situations, auxquelles nous reviendrons un peu plus tard. Si nous voulons échanger les lignes 1 et 4, nous l' $R_{{1}}\leftrightarrow r_{{4}}.$
- Multiple scalaire. Vous pouvez remplacer une ligne par un multiple scalaire de celle-ci. Par exemple, si vous voulez remplacer la ligne 2 par 5 fois elle-même, vous écrivez $R_{{2}}\à 5r_{{2}}.$
- Ajout de ligne. Vous pouvez remplacer une ligne par la somme d' elle - même et une combinaison linéaire des autres lignes. Si nous voulons remplacer la ligne 3 par elle-même plus deux fois la ligne 4, nous écrivons $R_{{3}}\à r_{{3}}+2r_{{4}}.$ Si nous voulons remplacer la ligne 2 par lui-même, plus la ligne 3, plus deux fois la ligne 4, nous écrivons $R_{{2}}\à r_{{2}}+r_{{3}}+2r_{{4}}.$
- Nous pouvons effectuer ces opérations de ligne en même temps, et parmi les trois opérations de ligne, les deux dernières seront les plus utiles.
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Identifiez le premier pivot. Un pivot est le coefficient dominant de chaque ligne. Il est unique à chaque ligne et colonne et identifie une variable avec son équation. Voyons comment cela fonctionne.
- En général, le premier pivot sera toujours le nombre en haut à gauche, donc $X_{{1}}$ a "son" équation. Dans notre cas, le premier pivot est le 1 en haut à gauche.
- Si le nombre en haut à gauche est un 0, permutez les lignes jusqu'à ce qu'il ne le soit pas. Dans notre cas, nous n'en avons pas besoin.
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Ligne-réduire de sorte que tout à gauche et en bas du pivot soit 0. Lorsque cela se produit après que nous ayons identifié tous nos pivots, la matrice sera sous forme d'échelon de ligne. La rangée dans laquelle repose le pivot ne change pas.
- Remplacez la ligne 2 par elle-même moins deux fois la ligne 1. Cela garantit que l'élément de la ligne 2, colonne 1 sera un 0.
- Remplacez la ligne 3 par elle-même moins la ligne 1. Cela garantit que l'élément de la ligne 3, colonne 1 sera un 0.
- Remplacez la ligne 4 par elle-même moins deux fois la ligne 1. L'élément de la ligne 4, colonne 1 sera un 0. Étant donné que ces opérations de ligne concernent différentes lignes, nous pouvons les faire simultanément. Il n'est pas nécessaire d'écrire quatre matrices pour montrer votre travail.
- Ces opérations sur les lignes peuvent être résumées ci-dessous.
- ${\begin{aligned}r_{{2}}et\to r_{{2}}-2r_{{1}}\\r_{{3}}et\to r_{{3}}-r_{{1 }}\\r_{{4}}et\à r_{{4}}-2r_{{1}}\end{aligned}}$
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-3and-4and-2and-4\\0and-2and-3and1and3\\0and-3and-2and0and-2\end{array}}\right)$
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Identifiez le deuxième pivot et réduisez la ligne en conséquence.
- Le deuxième pivot peut être n'importe quoi de la deuxième colonne, sauf celui de la première ligne, car le premier pivot le rend déjà indisponible. Choisissons l'élément de la ligne 2, colonne 2. Gardez à l'esprit que si un pivot qui n'est pas sur la diagonale est choisi, vous devez permuter les lignes pour qu'il le soit.
- Effectuez les opérations de ligne suivantes de telle sorte que tout ce qui se trouve sous le pivot soit 0.
- ${\begin{aligned}r_{{3}}et\to 3r_{{3}}-2r_{{2}}\\r_{{4}}et\to r_{{4}}-r_{{2 }}\end{aligné}}$
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-3and-4and-2and-4\\0and0and-1and7and17\\0and0and2and2and2\end{array}}\right)$
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Identifiez le troisième pivot et réduisez la ligne en conséquence.
- Le troisième pivot ne peut pas provenir de la première ou de la deuxième rangée. Choisissons l'élément de la ligne 3, colonne 3. Remarquez un motif ici. Nous choisissons des pivots le long de la diagonale de la matrice.
- Effectuez l'opération de ligne suivante. Après cela, le quatrième pivot apparaît automatiquement comme l'élément inférieur droit de la matrice.
- $R_{{4}}\à r_{{4}}+2r_{{3}}$
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-3and-4and-2and-4\\0and0and-1and7and17\\0and0and0and16and36\end{array}}\right)$
- Cette matrice est maintenant sous forme d'échelon de ligne. Les pivots ont été identifiés et tout ce qui se trouve à gauche et en dessous des pivots est à 0. Gardez à l'esprit qu'il s'agit d' une forme d'échelon de ligne - ils ne sont pas uniques, car différentes opérations de ligne peuvent produire une matrice qui ne ressemble en rien à celle ci-dessus..
- Vous pouvez immédiatement net $X_{{4}}={\frac {9}{4}}$ et procéder à la substitution pour obtenir toutes les autres variables. C'est ce qu'on appelle la substitution en arrière, et c'est ce que les ordinateurs utilisent après avoir atteint la forme d'échelon de ligne pour résoudre des systèmes d'équations. Cependant, nous continuerons à réduire les lignes jusqu'à ce qu'il ne reste plus que les pivots et les constantes.

Il n'est pas nécessaire d'écrire quatre matrices pour montrer votre travail.

Partie 3 sur 4: forme réduite en échelons

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Comprenez ce qu'est la forme réduite en échelons de rangée (RREF). Contrairement à l'échelon de ligne ordinaire, RREF est unique à la matrice, car il nécessite deux conditions supplémentaires:
- Les pivots sont 1.
- Les pivots sont la seule entrée non nulle dans leurs colonnes respectives.
- Ensuite, si le système d'équations a une solution unique, la matrice augmentée résultante ressemblera à $(i|{\mathbf {x}}),$ où $je$ est la matrice d'identité. C'est notre objectif final pour cette partie.
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Rangée-réduire à RREF. Contrairement à l'obtention d'une forme d'échelon de ligne, il n'y a pas de processus systématique par lequel nous identifions les pivots et réduisons les lignes en conséquence. Nous n'avons qu'à le faire. Cependant, il est utile de simplifier avant de continuer - nous pouvons diviser la ligne 4 par 4. Cela facilite l'arithmétique.
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-3and-4and-2and-4\\0and0and-1and7and17\\0and0and0and4and9\end{array}}\right)$
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Réduisez la ligne de telle sorte que la troisième ligne ne soit composée que de zéros, à l'exception du pivot.
- $R_{{3}}\à 7r_{{4}}-4r_{{3}}$
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-3and-4and-2and-4\\0and0and4and0and-5\\0and0and0and4and9\end{array}}\right)$
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Réduisez la ligne de telle sorte que la deuxième ligne ne soit composée que de zéros, à l'exception du pivot.
- $R_{{2}}\à r_{{3}}+r_{{2}},$ puis $R_{{2}}\à r_{{4}}+2r_{{2}}.$ Ensuite, simplifiez la deuxième ligne.
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and1and2and0and1\\0and-2and0and0and-3\\0and0and4and0and-5\\0and0and0and4and9\end{array}}\right)$
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Réduisez la ligne de telle sorte que la première ligne ne soit composée que de zéros, à l'exception du pivot.
- $R_{{1}}\à 2r_{{1}}+r_{{2}},$ puis $R_{{1}}\à 2r_{{1}}-r_{{3}}.$
- $\left({\begin{array}{cccc|c}2and0and0and0and4\\0and-2and0and0and-3\\0and0and4and0and-5\\0and0and0and4and9\end{array}}\right)$
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Divisez pour que chaque pivot soit 1.
- $\left({\begin{array}{cccc|c}1and0and0and0and2\\0and1and0and0and1,5\\0and0and1and0and-1,25\\0and0and0and1and2,25\end{array}}\right)$
- C'est RREF, et comme prévu, il nous donne immédiatement la solution de notre équation d'origine sous la forme $(i|{\mathbf {x}}).$ Nous avons maintenant terminé.
- ${\begin{aligned}x_{{1}}et=2\\x_{{2}}et=1,5\\x_{{3}}et=-1,25\\x_{{4}} and=2,25\end{aligned}}$

Présenter le résultat comme une solution ne donne pas la solution générale — Bien sûr, insérer une valeur pour et présenter le résultat comme une solution ne donne pas la solution générale.

Partie 4 sur 4: pas de solutions uniques

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Comprendre le cas d'incohérence. L'exemple que nous avons vu ci-dessus avait une solution unique. Dans cette partie, nous passons en revue les cas où vous rencontrez une ligne de 0 dans la matrice de coefficients.
- Après avoir réduit autant que possible les rangées en une forme d'échelon de rangée, vous pouvez rencontrer une matrice similaire à celle ci-dessous. La partie importante est la ligne avec les 0, mais notez également qu'il nous manque un pivot dans la troisième ligne.
- $\left({\begin{array}{ccc|c}1and4and2and1\\0and-4and-1and4\\0and0and0and1\end{array}}\right)$
- Cette rangée de 0 indique que la combinaison linéaire des variables avec des coefficients de 0 totalise 1. Ce n'est jamais vrai, donc le système est incohérent et n'a pas de solution. Si vous atteignez ce point, vous avez terminé.
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Comprendre le cas de la dépendance. Peut-être que dans la rangée de 0, l'élément constant de cette rangée est également un 0, comme ceci:
- $\left({\begin{array}{ccc|c}1and4and2and1\\0and-4and-1and4\\0and0and0and0\end{array}}\right)$
- Cela signale la présence d'une solution dépendante - un ensemble de solutions avec une infinité de solutions. Certains peuvent vous demander de vous arrêter ici, mais tous les ${\mathbf {x}}$ sont pas une solution. Pour voir quelle est la solution réelle, réduisez la ligne à RREF.
- $\left({\begin{array}{ccc|c}1and0and1and5\\0and1and0,25and-1\\0and0and0and0\end{array}}\right)$
- La troisième colonne n'a pas de pivot après avoir été réduite à RREF, alors que dit exactement cette matrice? N'oubliez pas que le pivot "affecte" une ligne à cette variable en tant qu'équation, donc puisque les deux premières lignes ont des pivots, nous pouvons identifier x1{\displaystyle x_{1}} $X_{{1}}$ et x2.{\displaystyle x_{2}.} $X_{{2}}.$
  - ${\begin{aligned}x_{{1}}+x_{{3}}et=5\\x_{{2}}+{\frac {1}{4}}x_{{3}}et=- 1\fin{aligné}}$
- La première équation est l'équation de x1,{\displaystyle x_{1},} tandis que la deuxième équation est celle de x2.{\displaystyle x_{2}.} $X_{{2}}.$ Maintenant, résolvez les deux.
  - ${\begin{aligned}x_{{1}}et=5-x_{{3}}\\x_{{2}}et=-1-{\frac {1}{4}}x_{{3} }\end{aligné}}$
- C'est de là que vient la "dépendance". Les deux x1 {\ displaystyle x_ {1}} $X_{{1}}$ et x2 {\ displaystyle x_ {2}} $X_{{2}}$ compter sur x3, {\ displaystyle x_ {3},} $X_{{3}},$ mais x3 {\ displaystyle x_ {3}} $X_{{3}}$ est ici arbitraire - c'est un variable libre. Peu importe ce que c'est, la paire résultante de x1{\displaystyle x_{1}} $X_{{1}}$ et x2{\displaystyle x_{2}} $X_{{2}}$ sera une solution valable pour le système. Pour en tenir compte, reparamétrez la variable libre en définissant x3=t.{\displaystyle x_{3}=t.} $X_{{3}}=t.$
  - ${\begin{aligned}x_{{1}}et=5-t\\x_{{2}}et=-1-{\frac {1}{4}}t\end{aligned}}$
- Bien sûr, insérer une valeur pour t{\displaystyle t} $T$ et présenter le x{\displaystyle \mathbf {x} } ${\mathbf {x}}$ résultant comme solution ne donne pas la solution générale. Au contraire, la solution générale est
  - ${\mathbf {x}}={\begin{pmatrix}5-t\\-1-{\frac {1}{4}}t\\t\end{pmatrix}},t\in {\mathbb { r}}.$
- En général, vous pouvez rencontrer $N$ variables libres. Dans ce cas, il suffit de reparamétrer $N$ variables dépendantes.

Conseils

La réduction de ligne devient peu pratique pour les matrices de plus de 5 ou 6 lignes/colonnes, car le nombre d'opérations arithmétiques augmente par la factorielle de la dimension de la matrice. Utilisez une calculatrice pour vérifier votre RREF.