Comment faire pivoter des sections coniques à l'aide de formes quadratiques?

Nous pouvons écrire les trois premiers termes de la section conique sous la forme quadratique où.

Une section conique est la courbe obtenue par la section transversale d'un cône avec un plan. La forme standard de la section conique est l'équation ci-dessous.

$Ax^{{2}}+bxy+cy^{{2}}+dx+ey+f=0$

Nous pouvons écrire la forme quadratique en termes de matrice diagonale — Maintenant, nous pouvons écrire la forme quadratique en termes de matrice diagonale.

( $UNE$ est en minuscule ci-dessus pour éviter toute confusion avec la matrice $UNE$ décrite plus tard.) Les sections coniques sont presque toujours plus faciles à traiter sans le terme croisé $Bxy.$ Par exemple, lorsqu'on lui donne une section conique sous forme standard, vous ne pouvez pas facilement la factoriser sous une forme que vous pouvez la reconnaître, telle que l'équation d'une hyperbole. C'est un problème si nous devions aborder ce problème en termes de manipulations algébriques standard, ce qui implique beaucoup de trigonométrie.

Écrire la forme quadratique en fonction de la matrice diagonale — Diagonaliser et écrire la forme quadratique en fonction de la matrice diagonale.

Heureusement, il existe une solution du point de vue de l'algèbre linéaire. On peut écrire les trois premiers termes de la conique sous la forme quadratique ${\mathbf {x}}^{{t}}a{\mathbf {x}},$ où

$A={\begin{pmatrix}aandb/2\\b/2andc\end{pmatrix}}.$

$UNE$ est appelée la matrice de la forme quadratique, et c'est là que toutes les informations importantes sur la section conique sont stockées. Nous traitons spécifiquement de la façon dont nous pouvons effectuer une rotation passive afin que nous puissions les décrire plus naturellement dans ce système de coordonnées tourné. En algèbre linéaire, cela impliquera un changement de base de la matrice en écrivant ses valeurs propres sur sa diagonale.

Pas

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Considérez la section conique ci-dessous. Au lieu d'étiqueter x{\displaystyle x} $X$ et y{\displaystyle y} $Oui$ comme variables, nous optons pour x1{\displaystyle x_{1}} $X_{{1}}$ et x2{\displaystyle x_{2}} $X_{{2}}$ pour souligner qu'il s'agit de composants de x.{\displaystyle \mathbf {x}.} ${\mathbf {x}}.$ Par souci de simplicité, nous choisirons un système de coordonnées qui met D{\displaystyle D} $ré$ et E{\displaystyle E} $E$ à 0.
- $6=-x_{{1}}^{{2}}+4x_{{1}}x_{{2}}+2x_{{2}}^{{2}}$
- Rien qu'en analysant les termes quadratiques, nous pouvons voir qu'il s'agit d'une hyperbole. Puisque $B\neq 0,$ ce sera une hyperbole tournée par rapport aux axes $(x_{{1}},x_{{2}})$ .
2
Écrivez la matrice de la forme quadratique $une$ . Nous le faisons en identifiant a,B,{\displaystyle a,B,} $Un B,$ et C.{\displaystyle C.} $C.$ Reconnaître que A{\displaystyle A} $UNE$ est hermitien, ce qui signifie que A{\displaystyle A} $UNE$ est diagonalisable orthogonalement. Nous verrons ce que cela signifie plus tard.
- $A={\begin{pmatrix}-1and2\\2and2\end{pmatrix}}$
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Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $UNE$ . Le but ici est d'obtenir le changement de matrice de base P.{\displaystyle P.} $P.$ Les vecteurs propres de A{\displaystyle A} $UNE$ constitueront les colonnes de P.{\displaystyle P.} $P.$
- Déterminer le polynôme caractéristique de A.{\displaystyle A.} $UNE.$
  - $(-1-\lambda)(2-\lambda)-4=0$
  - $\lambda =3,-2$
- Remplacez ces valeurs propres pour obtenir des vecteurs propres en réduisant les lignes des matrices résultantes.
  - $\lambda =3:\ {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
  - $\lambda =-2:\ {\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}$
- Il est important de reconnaître que les vecteurs propres sont orthogonaux les uns aux autres. Ceci est garanti par le fait que $UNE$ est hermitien.
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Diagonalisez a{\displaystyle a} $une$ et écrivez la forme quadratique en fonction de la matrice diagonale d{\displaystyle d} $ré$ . Il y a quelques points importants à noter dans cette étape. Premièrement, P{\displaystyle P} $P$ doit être normalisé pour obtenir une matrice orthogonale - une matrice avec des colonnes orthonormées. Deuxièmement, les matrices orthogonales permettent des transformations orthogonales - des transformations qui préservent les produits internes. En d'autres termes, nous voulons obtenir une matrice qui ne modifie pas la longueur des éléments de base (les vecteurs unitaires des axes de coordonnées) ou, plus important encore, l'angle entre eux.
- Normalisez P{\displaystyle P} $P$ en normalisant les vecteurs propres de telle sorte que leur magnitude soit 1.
  - $P={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {5}}et-2/{\sqrt {5}}\\2/{\sqrt {5}}et1/{\sqrt {5}}\end {pmatrice}}$
- Diagonaliser A{\displaystyle A} $UNE$ en l'écrivant en fonction de sa matrice diagonale D.{\displaystyle D.} $RÉ.$ Bien entendu, les éléments de D{\displaystyle D} $ré$ sur la diagonale sont simplement les valeurs propres de A.{\displaystyle A.} $UNE.$ Faites cependant très attention à la commande. L'ordre des colonnes de P{\displaystyle P} $P$ et l'ordre des valeurs propres écrites dans D{\displaystyle D} $ré$ doivent correspondre.
  - $A=pdp^{{-1}}$
- Puisque P{\displaystyle P} $P$ est orthogonal, P−1=PT.{\displaystyle P^{-1}=P^{T}.} $P^{{-1}}=p^{{t}}.$ Trouver la transposée d'une matrice est beaucoup plus facile que de trouver son inverse. Nous ne pourrions pas le faire si nous ne normalisions pas les colonnes de P.{\displaystyle P.} $P.$
  - $A=pdp^{{t}}$
- Maintenant, nous pouvons écrire la forme quadratique en termes de matrice diagonale D.{\displaystyle D.} $RÉ.$
  - ${\mathbf {x}}^{{t}}a{\mathbf {x}}={\mathbf {x}}^{{t}}pdp^{{t}}{\mathbf {x}}$
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Écrivez la forme quadratique en termes de coordonnées tournées. Soit x′=PTx.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }=P^{T}\mathbf {x}.} ${\mathbf {x}}^{{\prime }}=p^{{t}}{\mathbf {x}}.$ Reconnaître que la transposition d'un produit change aussi leurs positions. Dans notre cas, x′T=xTP.{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime T}=\mathbf {x} ^{T}P.} ${\mathbf {x}}^{{\prime t}}={\mathbf {x}}^{{t}}p.$
- ${\mathbf {x}}^{{t}}a{\mathbf {x}}={\mathbf {x}}^{{\prime t}}d{\mathbf {x}}^{{\prime }}$
- Nous pouvons également relier les deux systèmes de coordonnées ensemble.
  - $X_{{1}}^{{\prime }}={\frac {x_{{1}}+2x_{{2}}}{{\sqrt {5}}}}$
  - $X_{{2}}^{{\prime }}={\frac {-2x_{{1}}+x_{{2}}}{{\sqrt {5}}}}$
- Confirmez que la multiplication à l'aide de ces relations donne la section conique d'origine.
6

Reliez $p$ à la matrice de rotation $r(\theta)$ . Rappelons la matrice de rotation en deux dimensions comme $R(\theta)={\begin{pmatrix}\cos \theta and-\sin \theta \\\sin \theta and\cos \theta \end{pmatrix}}.$ Alors, si on pose $P=r(\theta),$ on voit que $\cos \theta ={\frac {1}{{\sqrt {5}}}}$ et $\sin \theta ={\frac {2}{{\sqrt {5}}}}.$ En reliant le changement de matrice de base à la matrice de rotation et en reconnaissant que ${\mathbf {x}}^{{\prime }}=p^{{t}}{\mathbf {x}}$ décrit une transformation passive (rotation des axes de coordonnées eux-mêmes au lieu de la section conique), on voit que nous faisons pivoter nos axes d'origine de $\theta =\cos ^{{-1}}{\frac {1}{{\sqrt {5}}}},$ ou d'environ 63 degrés, pour obtenir les nouveaux axes de coordonnées qui éliminent le terme croisé $Bx_{{1}}x_{{2}}.$ Si nous avions interverti l'ordre des valeurs propres dans $ré$ et les colonnes de $P,$ nous ferions plutôt une rotation de 90 - 63 = 27 degrés dans l'autre sens.
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Écrivez la section conique en fonction des nouvelles coordonnées. En multipliant x′TDx′,{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime T}D\mathbf {x} ^{\prime },} ${\mathbf {x}}^{{\prime t}}d{\mathbf {x}}^{{\prime }},$ le terme croisé embêtant est éliminé, et il en résulte que les valeurs propres de A{\displaystyle A} $UNE$ sont les coefficients des termes quadratiques dans le nouveau système de coordonnées.
- $6=3x_{{1}}^{{\prime 2}}-2x_{{2}}^{{\prime 2}}$
- En formulant le problème en termes de changement de base, nous pouvons arriver à la réponse et comprendre son processus sans avoir à passer par des dérivations trigonométriques rigoureuses (et la plupart sont assez peu intuitives).

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