Comment calculer le déterminant d'une matrice?
Les signes alternés dans la matrice de signes découlent de la définition de la matrice de cofacteur en matrice qui est la matrice obtenue lorsque l'expansion de cofacteur est appliquée à chaque entrée.
Le déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée, c'est-à-dire une matrice avec le même nombre de lignes que de colonnes. Le déterminant d'une matrice a plusieurs utilisations; d'une part, il vous indique immédiatement si la matrice a un inverse ou non (voir conseils). Vous trouverez plus facile de commencer à apprendre et à calculer les déterminants matriciels à la main avec des matrices 2x2 et 3x3.
Le déterminant est indiqué par des lignes verticales autour du tableau matriciel ou par le symbole det{\displaystyle \det } .
Partie 1 sur 3: matrice 2x2
- 1Considérez la matrice ci-dessous.
- A=(abcd){\displaystyle A=\left({\begin{matrice}a&b\\c&d\end{matrice}}\right)}
- 2Multipliez l'entrée en haut à gauche par l'entrée en bas à droite.
- annonce{\displaystyle annonce}
- 3Multipliez l'entrée en haut à droite par l'entrée en bas à gauche.
- bc{\displaystyle bc}
- 4Soustrayez le nombre que vous venez d'obtenir du premier produit.
- detA=ad-bc{\displaystyle \det A=ad-bc}
- La formule ci-dessus est le déterminant d'une matrice générale 2x2. Il est très utile de mémoriser.
La matrice mineure est la plus petite matrice créée en omettant la ligne et la colonne du nombre.
Exemple
- 1Considérez la matrice ci-dessous.
- B=(4692){\displaystyle B=\gauche({\begin{matrice}4&6\\9&2\end{matrice}}\right)}
- 2Multipliez l'entrée en haut à gauche par l'entrée en bas à droite.
- (4)(2)=8{\style d'affichage (4)(2)=8}
- 3Multipliez l'entrée en haut à droite par l'entrée en bas à gauche.
- (9)(6)=54{\style d'affichage (9)(6)=54}
- 4Soustrayez le nombre que vous venez d'obtenir du premier produit.
- detB=8−54=−46.{\displaystyle \det B=8-54=-46.}
Partie 2 sur 3: matrice 3x3
- 1Utilisez l'expansion de cofacteur. Aussi appelé expansion par mineurs, ce processus consiste à prendre une ligne ou une colonne de nombres, en les multipliant par le déterminant de la matrice "mineure" (la matrice formée en omettant la ligne et la colonne du nombre avec lequel vous multipliez le mineur), et additionner les résultats. La manière exacte de savoir pourquoi ce processus fonctionne découle de la définition formelle du déterminant, qui est extrêmement difficile à formuler.
- Bien que la discussion ci-dessus semble compliquée, le processus ne l'est vraiment pas. Voyons comment fonctionne l'expansion des cofacteurs.
- 2Identifiez votre matrice. Faites attention aux 0 et aux 1, car ils faciliteront légèrement le calcul du déterminant.
- A=(abcdefghi){\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}
- 3Identifiez la matrice "signe". Bien qu'il ne s'agisse pas d'une matrice réelle, cette matrice de signes nous indique quel signe attribuer au produit.
- (+−+−+−+−+){\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}}
- Les matrices de signes ne s'appliquent pas seulement aux matrices 3x3 - elles s'appliquent à n'importe quel nombre de dimensions, et le même motif en damier est valable.
- 4Choisissez une ligne ou une colonne. Bien que tout suffise, cette ligne ou colonne devrait idéalement avoir des 0 pour faciliter le calcul. La raison en est que pendant l'expansion du cofacteur, 0 multiplié par le déterminant de toute matrice mineure est 0, et ne contribue donc pas au déterminant de la matrice. Cela rendra les calculs beaucoup plus faciles. S'il n'y a pas de 0, le prochain nombre le plus simple pour éviter les erreurs arithmétiques serait 1.
- Choisissons la deuxième ligne (def).{\displaystyle {\begin{pmatrix}d&e&f\end{pmatrix}}.} La matrice de signe correspondante sera (−+−).{\displaystyle {\begin{pmatrix}-& +&-\end{pmatrix}}.}
- 5Multipliez le premier nombre de cette ligne ou colonne avec le déterminant de son mineur. La matrice mineure est la plus petite matrice créée en omettant la ligne et la colonne du nombre. Le résultat est une matrice dont la dimension est réduite de 1, d'où le terme «mineur».
- Dans notre exemple, nous avons choisi la deuxième ligne. Notez que la matrice de signe indique que d{\displaystyle d} doit avoir un signe négatif lors de la multiplication.
- -d|bchi|{\displaystyle -d{\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}}}
- Ici, |bchi|{\displaystyle {\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}}} est la matrice mineure de d.{\displaystyle d.} Comparez cette matrice à la matrice originale - nous avons tout omis des éléments dans la ligne et la colonne de d.{\displaystyle d.}
- 6Ensuite, faites le deuxième numéro.
- Le signe correspondant pour l'entrée e{\displaystyle e} est positif.
- e|acgi|{\displaystyle e{\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}}}
- 7Enfin, faites le troisième numéro.
- Le signe correspondant pour l'entrée f{\displaystyle f} est négatif.
- -f|abgh|{\displaystyle -f{\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix}}}
- 8Calculer les déterminants des mineurs et additionner les résultats. Avec de la pratique, vous passerez immédiatement à cette étape et évaluerez.
- detA=−d|bchi|+e|acgi|−f|abgh|{\displaystyle \det A=-d{\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}}+e{\begin{vmatrix} a&c\\g&i\end{vmatrix}}-f{\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix}}}
Exemple 1
- 1Considérez la matrice ci-dessous.
- B=(345910298){\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&4&5\\9&1&0\\2&9&8\end{pmatrix}}}
- 2Choisissez une ligne ou une colonne.
- La deuxième ligne a un 0 et un 1. Utilisez cette ligne.
- 3Multipliez les nombres par le déterminant de leurs mineurs et additionnez les résultats. Faites attention aux signes.
- Notez que la troisième entrée de notre ligne choisie est un 0. Il n'est pas nécessaire de calculer le déterminant de son mineur.
- detB=−9|4598|+1|3528|{\displaystyle \det B=-9{\begin{vmatrix}4&5\\9&8\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}3&5\\2&8\ fin{vmatrix}}}
- 4Calculer les déterminants des mineurs.
- |4598|=(4)(8)−(9)(5)=−13|3528|=(3)(8)−(2)(5)=14{\displaystyle {\begin{aligned}{\ begin{vmatrix}4&5\\9&8\end{vmatrix}}&=(4)(8)-(9)(5)=-13\\{\begin{vmatrix}3&5\\2&8\end{vmatrix}} &=(3)(8)-(2)(5)=14\end{aligned}}}
- 5Remplacez ces déterminants et évaluez.
- detB=−9(−13)+1(14)=131.{\displaystyle \det B=-9(-13)+1(14)=131.}
Le déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée, c'est-à-dire une matrice avec le même nombre de lignes que de colonnes.
Exemple 2
- 1Considérez la même matrice dans l'exemple 1, mais choisissez plutôt la troisième colonne. Nous voulons vérifier que ce processus fonctionne en obtenant la même valeur pour le déterminant.
- 2Multipliez les nombres par le déterminant de leurs mineurs et additionnez les résultats. Faites attention aux signes.
- La deuxième entrée de notre colonne est un 0, alors ne calculez pas le déterminant de son mineur!
- detB=5|9129|+8|3491|{\displaystyle \det B=5{\begin{vmatrix}9&1\\2&9\end{vmatrix}}+8{\begin{vmatrix}3&4\\9&1\end{ vmatrice}}}
- 3Calculer les déterminants des mineurs.
- |9129|=(9)(9)−(2)(1)=79|3491|=(3)(1)−(9)(4)=−33{\displaystyle {\begin{aligned}{\ begin{vmatrix}9&1\\2&9\end{vmatrix}}&=(9)(9)-(2)(1)=79\\{\begin{vmatrix}3&4\\9&1\end{vmatrix}}& =(3)(1)-(9)(4)=-33\end{aligned}}}
- 4Remplacez ces déterminants et évaluez.
- detB=5(79)+8(−33)=131.{\displaystyle \det B=5(79)+8(-33)=131.}
- Le déterminant obtenu dans l'exemple 2 est le même que dans l'exemple 1. Notez cependant l'arithmétique un peu plus difficile dans l'exemple 2. Cela reflète notre choix de ligne/colonne, avec des nombres tels que 5 et 8 multipliés par des déterminants trop grands.
Partie 3 sur 3: matrice nxn
- 1Identifiez votre matrice. Recherchez des lignes ou des colonnes qui sont presque identiques les unes aux autres, ou une combinaison pas tout à fait linéaire des autres.
- 2Si tel est le cas, réduisez la ligne ou la colonne de sorte qu'il y ait un nombre significatif de 0 dans la matrice. La réduction de colonne s'applique ici car le déterminant ne préfère pas non plus.
- Attention, la réduction de ligne/colonne peut changer le déterminant d'une matrice. Par exemple, le remplacement d'une colonne par un multiple de lui-même entraîne la modification du déterminant par ce multiple, il est donc nécessaire de multiplier par l'inverse pour compenser. L'échange de deux lignes ou colonnes annulera le déterminant. La réduction de ligne/colonne ne changera pas si le déterminant est égal ou non à zéro.
- 3Utilisez l'expansion de cofacteur. Le même processus utilisé pour trouver le déterminant d'une matrice 3x3 se généralise également aux dimensions supérieures. Cependant, ce processus est long et inefficace pour les calculs manuels - même une matrice 4x4 nécessite 3x3 mineurs, ce qui nécessite également 2x2 mineurs. Cependant, les problèmes de manuels qui vous demandent de trouver le déterminant des matrices de dimension supérieure peuvent avoir les propriétés décrites à l'étape 1 de la section. Par conséquent, si vous maîtrisez votre processus de réduction, vous pouvez obtenir une matrice dont il est facile de calculer le déterminant.
Exemple
- 1Considérez la matrice ci-dessous.
- B=(27−586622414−1014341−1){\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&7&-5&8\\6&6&2&2\\4&14&-10&14\\3&4&1&-1\end{pmatrix}}}
- Si nous sommes naïfs dans le calcul du déterminant de cette matrice, nous choisirions simplement n'importe quelle ligne ou colonne (très probablement la première ligne) et développerions deux fois par mineurs. Cependant, notez que la troisième ligne est presque un multiple de la première ligne et que la quatrième ligne est presque un multiple de la deuxième ligne.
- 2La ligne réduit la matrice pour obtenir des 0. Effectuez les opérations de ligne R3→R3−2R1{\displaystyle R_{3}\to R_{3}-2R_{1}} et R4→2R4−R2.{\displaystyle R_{4}\to 2R_{4}-R_ {2}.}
- detB=12|27−586622000−2020−4|{\displaystyle \det B={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}2&7&-5&8\\6&6&2&2\\0&0&0&-2\\0&2&0&- 4\end{vmatrix}}}
- Lors de la réduction des lignes, nous avons remplacé la ligne 4 par deux fois elle-même, moins une combinaison linéaire des autres lignes (ici, uniquement la ligne 2). Le déterminant de la matrice double alors, et donc, il faut multiplier par un demi pour compenser.
- 3Simplifiez-vous en factorisant. Les entrées des lignes 2-4 peuvent toutes être divisées par 2. En factorisant un 2 de chaque ligne, le déterminant de la matrice est divisé par deux, donc écrivez un facteur de 2 à l'extérieur pour compenser. Puisque nous avons divisé trois rangées par 2, il y aura un facteur de 8.
- detB=12(8)|27−583311000−1010−2|{\displaystyle \det B={\frac {1}{2}}(8){\begin{vmatrix}2&7&-5&8\\3&3&1&1\\0&0&0& -1\\0&1&0&-2\end{vmatrix}}}
- 4Choisissez la troisième ligne pour l'expansion du cofacteur. Notre réduction des rangs nous a permis de «redescendre les marches» vers une matrice plus gérable. Faites attention au signe.
- detB=(4)(−(−1))|27−5331010|{\displaystyle \det B=(4)(-(-1)){\begin{vmatrix}2&7&-5\\3&3&1\\0&1&0\ fin{vmatrix}}}
- 5Choisissez la troisième ligne de la matrice mineure pour l'expansion du cofacteur.
- detB=4(−1)|2−531|{\displaystyle \det B=4(-1){\begin{vmatrix}2&-5\\3&1\end{vmatrix}}}
- 6Calculer le déterminant du mineur et évaluer.
- |2−531|=17,{\displaystyle {\begin{vmatrix}2&-5\\3&1\end{vmatrix}}=17,} donc
- detB=4(−17)=−68.{\displaystyle \det B=4(-17)=-68.}
La raison en est que pendant l'expansion du cofacteur, 0 multiplié par le déterminant de toute matrice mineure est 0, et ne contribue donc pas au déterminant de la matrice.
- Bien que vous puissiez trouver un déterminant pour n'importe quelle matrice carrée, plus la matrice est grande, plus le calcul sera long. En général, le nombre de calculs (pour les ordinateurs, opérations en virgule flottante) requis à l'aide du développement de cofacteur décrit dans cet article augmente par la factorielle des dimensions de la matrice. Les ordinateurs utiliseront des méthodes plus efficaces pour calculer le déterminant, telles que la factorisation LU.
- Un point du théorème de la matrice inversible est qu'une matrice carrée A{\displaystyle A} a un inverse si detA≠0.{\displaystyle \det A\neq 0.} Inversement, une matrice carrée B{\displaystyle B} n'a pas ont un inverse si detB=0.{\displaystyle \det B=0.} Si vous pouvez dire que les colonnes de A{\displaystyle A} sont linéairement dépendantes, comme une colonne de 0, alors la matrice a définitivement un déterminant de 0.
- Les signes alternés dans la matrice de signes découlent de la définition de la matrice de cofacteur C{\displaystyle C} à la matrice A,{\displaystyle A,} qui est la matrice obtenue lorsque l'expansion de cofacteur est appliquée à chaque entrée. En utilisant la notation d'index, la matrice de cofacteur Cij=(−1)i+jMij,{\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},} où Mij{\displaystyle M_{ij} } est la matrice mineure i,j{\displaystyle i,j} . L'alternance des signes vient du (−1)i+j{\displaystyle (-1)^{i+j}} - le signe est positif quand i+j{\displaystyle i+j} est pair et négatif quand i+j{\displaystyle i+j} est impair. C'est pourquoi on peut généraliser le damier à des dimensions supérieures.
Questions et réponses
- Pourquoi ne puis-je pas utiliser la même méthode pour une matrice 3x3 qu'une matrice 4x4?Bien que vous puissiez techniquement utiliser la même méthode pour une matrice 4x4, cela prendrait plus de temps et serait sujet à plus d'erreurs. La réduire en une matrice triangulaire supérieure serait plus efficace.
En parallèle
