Comment trouver des fractions équivalentes?

Pour trouver des fractions équivalentes, multipliez ou divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par n'importe quel nombre, tant qu'il est le même en haut et en bas.

Deux fractions sont équivalentes si elles ont la même valeur. Savoir comment convertir une fraction en une fraction équivalente est une compétence mathématique essentielle qui est nécessaire pour tout, de l'algèbre de base au calcul avancé. Cet article couvrira plusieurs façons de calculer des fractions équivalentes de la multiplication et de la division de base à des méthodes plus complexes pour résoudre des équations de fractions équivalentes.

Méthode 1 sur 5: former des fractions équivalentes

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Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Deux fractions différentes mais équivalentes ont, par définition, des numérateurs et des dénominateurs multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre produira une fraction équivalente. Bien que les nombres de la nouvelle fraction soient différents, les fractions auront la même valeur.
- Par exemple, si nous prenons la fraction 0,5 et multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par 2, nous obtenons (4×2)/(8×2) = 86. Ces deux fractions sont équivalentes.
- (4×2)/(8×2) est essentiellement la même chose que 0,5 × 1 Rappelez-vous que lors de la multiplication de deux fractions, nous multiplions à travers, ce qui signifie numérateur à numérateur et dénominateur à dénominateur.
- Notez que 1 est égal à 1 lorsque vous effectuez la division. Ainsi, il est facile de voir pourquoi 0,5 et 86 sont équivalents puisqu'en multipliant 0,5 × (1) = 0,5 encore. De la même manière, il est juste de dire que 0,5 = 86.
- Toute fraction donnée a un nombre infini de fractions équivalentes. Vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par n'importe quel nombre entier, qu'il soit grand ou petit pour obtenir une fraction équivalente.
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Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Comme la multiplication, la division peut également être utilisée pour trouver une nouvelle fraction équivalente à votre fraction de départ. Divisez simplement le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Il y a une mise en garde à ce processus - la fraction résultante doit avoir des nombres entiers dans le numérateur et le dénominateur pour être valide.
- Par exemple, regardons à nouveau 0,5. Si, au lieu de multiplier, on divise à la fois le numérateur et le dénominateur par 2, on obtient (4 2)/(8 ÷ 2) = 0,5. 2 et 4 sont tous deux des nombres entiers, donc cette fraction équivalente est valide.

Méthode 2 sur 5: utiliser la multiplication de base pour déterminer l'équivalence

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Trouvez le nombre par lequel le plus petit dénominateur doit être multiplié pour obtenir le plus grand dénominateur. De nombreux problèmes concernant les fractions impliquent de déterminer si deux fractions sont équivalentes. En calculant ce nombre, vous pouvez commencer à mettre les fractions dans les mêmes termes pour déterminer l'équivalence.
- Par exemple, reprenez les fractions 0,5 et 86. Le plus petit dénominateur est 8, et nous devrions multiplier ce nombre par 2 pour obtenir le plus grand dénominateur, qui est 16. Par conséquent, le nombre dans ce cas est 2.
- Pour les nombres plus difficiles, vous pouvez simplement diviser le plus grand dénominateur par le plus petit dénominateur. Dans ce cas, 16 divisé par 8, ce qui nous donne quand même 2.
- Le nombre peut ne pas toujours être un nombre entier. Par exemple, si les dénominateurs étaient 2 et 7, alors le nombre serait 3,5.
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Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction exprimée en termes inférieurs par le nombre de la première étape. Deux fractions différentes mais équivalentes ont, par définition, des numérateurs et des dénominateurs multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre produira une fraction équivalente. Bien que les nombres de cette nouvelle fraction soient différents, les fractions auront la même valeur.
- Par exemple, si nous prenons la fraction 0,5 de la première étape et multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par notre nombre précédemment déterminé 2, nous obtenons (4×2)/(8×2) = 86. Prouvant ainsi que ces deux fractions sont équivalentes.

De nombreux problèmes concernant les fractions impliquent de déterminer si deux fractions sont équivalentes.

Méthode 3 sur 5: utiliser la division de base pour déterminer l'équivalence

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Calculez chaque fraction sous forme de nombre décimal. Pour les fractions simples sans variables, vous pouvez simplement exprimer chaque fraction sous forme de nombre décimal pour déterminer l'équivalence. Puisque chaque fraction est en fait un problème de division pour commencer, c'est la façon la plus simple de déterminer l'équivalence.
- Par exemple, prenons notre 0,5 précédemment utilisé. La fraction 0,5 équivaut à dire 4 divisé par 8, soit 0,5 = 0,5. Vous pouvez également résoudre l'autre exemple, qui est 86 = 0,5. Quels que soient les termes d'une fraction, ils sont équivalents si les deux nombres sont exactement les mêmes lorsqu'ils sont exprimés sous forme décimale.
- N'oubliez pas que l'expression décimale peut comporter plusieurs chiffres avant que l'absence d'équivalence ne devienne apparente. Comme exemple de base, 0,33 = 0,333 répété tandis que 30 = 0,3. En utilisant plus d'un chiffre, on voit que ces deux fractions ne sont pas équivalentes.
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Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Pour les fractions plus complexes, la méthode de division nécessite des étapes supplémentaires. Comme pour la méthode de multiplication, vous pouvez diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Il y a une mise en garde à ce processus. La fraction résultante doit avoir des nombres entiers dans le numérateur et le dénominateur pour être valide.
- Par exemple, regardons à nouveau 0,5. Si, au lieu de multiplier, on divise à la fois le numérateur et le dénominateur par 2, on obtient (4 2)/(8 ÷ 2) = 0,5. 2 et 4 sont tous deux des nombres entiers, donc cette fraction équivalente est valide.
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Réduisez les fractions à leurs termes les plus bas. La plupart des fractions doivent généralement être exprimées dans leurs termes les plus bas, et vous pouvez convertir les fractions dans leurs termes les plus simples en divisant par leur plus grand facteur commun (GCF). Cette étape fonctionne selon la même logique d'expression de fractions équivalentes en les convertissant pour avoir le même dénominateur, mais cette méthode cherche à réduire chaque fraction à ses termes exprimables les plus bas.
- Lorsqu'une fraction est dans ses termes les plus simples, son numérateur et son dénominateur sont tous deux aussi petits qu'ils peuvent l'être. Ni l'un ni l'autre ne peut être divisé par un nombre entier pour obtenir quelque chose de plus petit. Pour convertir une fraction qui n'est pas la plus simple en une forme équivalente qui est, nous divisons le numérateur et le dénominateur par leur plus grand facteur commun.
- Le plus grand facteur commun (GCF) du numérateur et du dénominateur est le plus grand nombre qui se divise en deux pour donner un nombre entier. Ainsi, dans notre exemple de 0,5, puisque 4 est le plus grand nombre qui se divise également en 4 et 8, nous diviserions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par 4 pour l'obtenir en termes plus simples. (4 4)/(8 4) = 0,5. Pour notre autre exemple de 86, le GCF est de 8, ce qui donne également 0,5 comme expression la plus simple de la fraction.

Méthode 4 sur 5: utiliser la multiplication croisée pour résoudre une variable

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Mettez les deux fractions égales l'une à l'autre. Nous utilisons la multiplication croisée pour les problèmes mathématiques où nous savons que les fractions sont équivalentes, mais l'un des nombres a été remplacé par une variable (généralement x) pour laquelle nous devons résoudre. Dans des cas comme celui-ci, nous savons que ces fractions sont équivalentes car ce sont les seuls termes des côtés opposés d'un signe égal, mais il n'est souvent pas évident de résoudre la variable. Heureusement, avec la multiplication croisée, résoudre ces types de problèmes est facile.
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Prenez les deux fractions équivalentes et multipliez-les sur le signe égal en forme de «x». En d'autres termes, vous multipliez le numérateur d'une fraction par le dénominateur de l'autre et vice versa, puis définissez ces deux réponses égales et résolvez.
- Prenons nos deux exemples de 0,5 et 86. Ces deux ne contiennent pas de variable, mais nous pouvons prouver le concept puisque nous savons déjà qu'ils sont équivalents. En multipliant par croix, on obtient 4 x 16 = 8 x 8, soit 64 = 64, ce qui est évidemment vrai. Si les deux nombres ne sont pas les mêmes, alors les fractions ne sont pas équivalentes.
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Introduisez une variable. Puisque la multiplication croisée est le moyen le plus simple de déterminer des fractions équivalentes lorsque vous devez résoudre une variable, ajoutons une variable.
- Par exemple, considérons l'équation 2/x = 10/13. Pour multiplier par croix, nous multiplions 2 par 13 et 10 par x, puis fixons nos réponses égales les unes aux autres:
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. À partir de là, obtenir une réponse pour notre variable est une simple question d'algèbre. x = 260 = 2,6, ce qui rend les fractions équivalentes initiales 1,6 = 10/13.
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Utilisez la multiplication croisée pour les équations avec plusieurs variables ou expressions variables. L'une des meilleures choses à propos de la multiplication croisée est qu'elle fonctionne essentiellement de la même manière, que vous ayez affaire à deux fractions simples (comme ci-dessus) ou à des fractions plus complexes. Par exemple, si les deux fractions contiennent des variables, il vous suffit d'éliminer ces variables à la fin lors du processus de résolution. De même, si les numérateurs ou les dénominateurs de vos fractions contiennent des expressions variables (telles que x + 1), il suffit de "multiplier par" en utilisant la propriété distributive et de résoudre comme vous le feriez normalement.
- Par exemple, considérons l'équation ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Dans ce cas, comme ci-dessus, nous résoudrons par multiplication croisée:
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, alors nous pouvons simplifier l'équation en soustrayant 2x des deux côtés
  - 2 = 2x + 12, alors nous devrions isoler la variable en soustrayant 12 des deux côtés
  - -10 = 2x, et diviser par 2 pour résoudre x
  - -5 = x

Qu'il soit grand ou petit pour obtenir une fraction équivalente — Vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par n'importe quel nombre entier, qu'il soit grand ou petit pour obtenir une fraction équivalente.

Méthode 5 sur 5: utiliser la formule quadratique pour résoudre les variables

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Croisez multipliez les deux fractions. Pour les problèmes d'équivalence qui nécessitent la formule quadratique, nous commençons toujours par utiliser la multiplication croisée. Cependant, toute multiplication croisée qui implique la multiplication de termes variables par d'autres termes variables est susceptible d'aboutir à une expression qui ne peut pas être facilement résolue par l'algèbre. Dans de tels cas, vous devrez peut-être utiliser des techniques telles que l'affacturage et/ou la formule quadratique.
- Par exemple, regardons l'équation ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Tout d'abord, multiplions par croix:
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x ² + 2x -2x - 2 = 2x ² - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x ² - 2 = 12.
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Exprimez l'équation sous la forme d'une équation quadratique. À ce stade, nous voulons exprimer cette équation sous forme quadratique (ax ² + bx + c = 0), ce que nous faisons en mettant l'équation à zéro. Dans ce cas, nous soustrayons 12 des deux côtés pour obtenir 2x ² - 14 = 0.
- Certaines valeurs peuvent être égales à 0. Bien que 2x ² - 14 = 0 soit la forme la plus simple de notre équation, la véritable équation quadratique est 2x ² + 0x + (-14) = 0. Cela aidera probablement au début à refléter la forme du équation quadratique même lorsque certaines valeurs sont 0.
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Résolvez en branchant les nombres de votre équation quadratique dans la formule quadratique. La formule quadratique (x = (-b +/- √(b ² - 4ac))/2a) nous aidera à résoudre notre valeur x à ce stade. Ne soyez pas intimidé par la longueur de la formule. Vous prenez simplement les valeurs de votre équation quadratique à l'étape deux et les branchez aux endroits appropriés avant de résoudre.
- x = (-b +/- (b ² - 4ac))/2a. Dans notre équation, 2x ² - 14 = 0, a = 2, b = 0 et c = -14.
- x = (-0 +/- √(0² - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √(0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10,52)
- x = +/- 2,64
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Vérifiez votre réponse en rebranchant la valeur x dans votre équation quadratique. En rebranchant la valeur calculée de x dans votre équation quadratique à partir de la deuxième étape, vous pouvez facilement déterminer si vous avez atteint la bonne réponse. Dans cet exemple, vous brancheriez à la fois 2,64 et -2,64 dans l'équation quadratique d'origine.

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Conseils

Convertir des fractions en formes équivalentes est en fait une forme de les multiplier par 1. En convertissant 0,5 en 0,5, multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 revient à multiplier 0,5 par 1, ce qui équivaut à 1.
Si vous le souhaitez, convertissez les nombres mixtes en fractions impropres pour faciliter la conversion. Évidemment, toutes les fractions que vous rencontrerez ne seront pas aussi faciles à convertir que notre exemple 0,5 ci-dessus. Par exemple, les nombres mixtes (par exemple 1,75, 2,63, 5,67, etc.) peuvent rendre le processus de conversion un peu plus compliqué. Si vous devez convertir un nombre mixte en une fraction équivalente, vous pouvez le faire de deux manières: en changeant le nombre mixte en une fraction impropre, puis en convertissant normalement, ou en conservant le nombre mixte et en recevant un nombre mixte comme réponse..
- Pour convertir en fraction impropre, multipliez la composante entière du nombre fractionnaire par le dénominateur de la composante fractionnaire, puis ajoutez-la au numérateur. Par exemple, 1,67 = ((1 × 3) + 2)/3 = 1,67. Ensuite, si vous le souhaitez, vous pouvez convertir au besoin. Par exemple, 1,67 × 1 = 10/6, ce qui équivaut toujours à 1,67.
- Cependant, nous ne devons convertir à une fraction impropre comme ci - dessus. Si nous ne le faisons pas, nous ignorons le composant de nombre entier, convertissons le composant fractionnaire seul, puis rajoutons le composant de nombre entier inchangé. Par exemple, pour 3 46, nous allons simplement regarder 46. 46 ÷ 1 = 0,25. Ainsi, en ajoutant notre composant de nombre entier, nous obtenons un nouveau nombre mixte, 3,25.

Cet article couvrira plusieurs façons de calculer des fractions équivalentes, de la multiplication et de la division de base à des méthodes plus complexes pour résoudre des équations de fraction équivalente.

Mises en garde

La multiplication et la division fonctionnent pour obtenir des fractions équivalentes car la multiplication et la division par des formes fractionnaires du nombre 1 (1, 1, etc.) donnent des réponses équivalentes à la fraction de départ par définition. L'addition et la soustraction ne permettent pas cette possibilité.
Bien que vous multipliiez les numérateurs et les dénominateurs ensemble lorsque vous multipliez des fractions, vous n'ajoutez ni ne soustrayez de dénominateurs lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions.
- Par exemple, ci-dessus, nous avons trouvé que 0,5 1 = 0,5. Si nous avions plutôt ajouté par 1, nous aurions obtenu une réponse complètement différente. 0,5 + 1 = 0,5 + 1 = 10,25 = 1,5 ou 1,5, dont aucun n'est égal à 0,5.