Comment compléter le carré?

Comment complétez-vous le carré quand il y a une valeur présente?

Compléter le carré est une technique utile qui vous permet de réorganiser une équation quadratique sous une forme nette qui la rend facile à visualiser ou même à résoudre. Vous pouvez compléter le carré pour réorganiser une formule quadratique plus compliquée ou même pour résoudre une équation quadratique. Si vous voulez savoir comment le faire, suivez simplement ces étapes.

Partie 1 sur 2: transformer une équation standard en forme de sommet

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Écrivez l'équation. Disons que vous travaillez avec l'équation suivante: 3x ² - 4x + 5.
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Factorisez le coefficient du terme au carré des 2 premiers termes. Pour extraire un trois des deux premiers termes, retirez simplement un 3 et placez-le autour d'un ensemble de parenthèses autour des deux termes, tout en divisant chaque terme par 3. 3x ² divisé par 3 est simplement x ² et 4x divisé par 3 est 1,33x. Ainsi, la nouvelle équation devrait ressembler à ceci: 3(x ² - 1,33x) + 5. Le 5 restera en dehors de l'équation car vous ne l'avez pas divisé par 3.
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Divisez le deuxième terme et carréz-le. Le deuxième terme, également connu sous le nom de terme b dans l'équation, est 1,33. Réduisez de moitié le deuxième terme ou divisez-le par 2 en premier. 1,33 2, ou 1,33 x 0,5, est égal à 0,67. Maintenant, mettez ce terme au carré en mettant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction. (0,67) ² = 0,44. Écrivez ce terme.
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Additionnez et soustrayez ce terme de l'équation. Vous aurez besoin de ce terme "supplémentaire" pour transformer les trois premiers termes de cette équation en un carré parfait. Mais vous devez vous rappeler que vous l'avez ajouté en le soustrayant également de l'équation. Bien qu'évidemment, cela ne vous fera pas beaucoup de bien de simplement combiner les termes - vous serez de retour là où vous avez commencé. La nouvelle équation devrait ressembler à ceci: 3(x ² - 1,33 x + 0,44 - 0,44) + 5.

Notez que la factorisation de ce carré parfait vous donnera les trois termes: x2 + 1,33 x + 0,44.
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Tirez le terme que vous avez soustrait de la parenthèse. Puisque vous travaillez avec un coefficient de 3 en dehors des parenthèses, vous ne pouvez pas simplement retirer le -0,44. Vous devrez d'abord le multiplier par 3. -0,44 x 3 = -10,22 ou -1,33. Si vous ne travaillez pas avec une équation avec un coefficient autre que 1 sur le terme x ², vous pouvez ignorer cette étape.
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Convertissez les termes entre parenthèses en un carré parfait. En ce moment, il vous reste 3(x ² -1,33x +0,44) entre parenthèses. Vous avez travaillé à rebours pour obtenir le 0,44, ce qui était vraiment une autre façon de trouver le terme qui compléterait le carré. Donc, vous pouvez réécrire ces termes comme ceci: 3(x - 0,67) ². Tout ce que vous aviez à faire était de réduire de moitié le deuxième mandat et de supprimer le troisième. Vous pouvez vérifier que cela fonctionne en le multipliant pour voir que cela vous donne les trois premiers termes de l'équation.
- 3(x - 0,67) ² =
- 3(x - 0,67)(x -0,67) =
- 3[(x ² -0,67x -0,67x + 0,44)]
- 3(x ² - 1,33x + 0,44)
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Combinez les termes constants. Il vous reste deux termes constants ou des termes qui ne sont pas attachés à une variable. En ce moment, il vous reste 3(x - 0,67) ² - 1,33 + 5. Tout ce que vous avez à faire est d'additionner -1,33 et 5 pour obtenir 10,33. Pour ce faire, définissez-les sur le même dénominateur: -1,33 et 11,67, puis ajoutez les numérateurs pour obtenir 11, et gardez le dénominateur à 3.
- -1,33 + 11,67 = 10,33.
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Écrivez l'équation sous forme de sommet. Vous avez terminé. L'équation finale est 3(x - 0,67) ² + 10,33. Vous pouvez supprimer le coefficient de 3 en divisant les deux parties de l'équation pour obtenir (x - 0,67) ² + 10,11. Vous avez maintenant réussi à placer l'équation sous forme de sommet, qui est a(x - h) ² + k, où k représente le terme constant.

Partie 2 sur 2: résolution d'une équation quadratique

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Écrivez le problème. Disons que vous travaillez avec l'équation suivante: 3x ² + 4x + 5 = 6
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Combinez les termes constants et placez-les sur le côté gauche de l'équation. Les termes constants sont tous les termes qui ne sont pas attachés à une variable. Dans ce cas, vous en avez 5 sur le côté gauche et 6 sur le côté droit. Vous voulez déplacer 6 vers la gauche, vous devrez donc soustraire 6 des deux côtés de l'équation. Cela vous laissera avec 0 sur le côté droit (6-6) et -1 sur le côté gauche (5-6). L'équation doit maintenant lire: 3x ² + 4x - 1 = 0.

Vous pouvez compléter le carré pour réorganiser une formule quadratique plus compliquée ou même pour résoudre une équation quadratique.
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Factorisez le coefficient du terme au carré. Dans ce cas, 3 est le coefficient du terme x ². Pour factoriser un 3, retirez simplement un 3, placez les termes restants entre parenthèses et divisez chaque terme par 3. Donc, 3x ² ÷ 3 = x ², 4x ÷ 3 = 1,33x, et 1 ÷ 3 = 0,33. L'équation devrait maintenant lire: 3(x ² + 1,33x - 0,33) = 0.
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Divisez par la constante que vous venez de factoriser. Cela signifie que vous pouvez vous débarrasser définitivement de ce terme embêtant 3 en dehors des parenthèses. Puisque vous avez divisé chaque terme par 3, il peut être supprimé sans affecter l'équation. Vous avez maintenant x ² + 1,33x - 0,33 = 0
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Divisez le deuxième terme et carréz-le. Ensuite, prenez le deuxième terme, 1,33, également connu sous le nom de terme b, et trouvez-en la moitié. 1,33 2 ou 1,33 x 0,5, est 0,67, ou 0,67. Et 0,67 au carré vaut 0,44. Lorsque vous avez terminé, vous devrez l'écrire à gauche et à droite de l'équation, car vous ajoutez essentiellement un nouveau terme. Vous en aurez besoin des deux côtés de l'équation pour le maintenir en équilibre. L'équation doit maintenant lire x ² + 1,33 x + 0,67² - 0,33 = 0,67²
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Déplacez le terme constant d'origine vers le côté droit de l'équation et ajoutez-le au terme de ce côté. Déplacez le terme constant d'origine, -0,33, vers la droite pour le rendre à 0,33. Ajoutez-le au terme que vous venez de placer, 0,44 ou 0,67². Trouvez un dénominateur commun pour combiner 0,33 et 0,44 en multipliant à la fois le haut et le bas de 0,33 par 3. 0,33 x 1 = 0,33. Maintenant, additionnez 0,33 et 0,44 pour obtenir 0,78 du côté droit de l'équation. Cela donne: x ² + 1,33 x + 0,67² = 0,44 + 0,33 puis x ² + 1,33 x + 0,67² = 0,78.
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Écrivez le côté gauche de l'équation sous la forme d'un carré parfait. Puisque vous avez déjà utilisé une formule pour trouver le terme manquant, la partie difficile est déjà terminée. Il suffit de mettre x et la moitié du deuxième coefficient entre parenthèses et de les mettre au carré, comme ceci:(x + 0,67) ². Notez que la factorisation de ce carré parfait vous donnera les trois termes: x ² + 1,33 x + 0,44. L'équation doit maintenant lire: (x + 0,67) ² = 0,78.

Du côté gauche de l'équation, la racine carrée de (x + 0,67)2 est simplement x + 0,67.
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Prenez la racine carrée des deux côtés. Du côté gauche de l'équation, la racine carrée de (x + 0,67) ² est simplement x + 0,67. Sur le côté droit, vous obtiendrez +/- (√7)/3. La racine carrée du dénominateur, 9, est un 3 pair, et la racine carrée de 7 est √7. N'oubliez pas d'écrire +/- car une racine carrée peut être positive ou négative.
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Isolez la variable. Pour isoler la variable x, déplacez simplement le terme constant 0,67 vers le côté droit de l'équation. Vous avez maintenant deux réponses possibles pour x:± (√7)/3 - 0,67. Ce sont vos deux réponses. Vous pouvez en rester là ou trouver la racine carrée réelle de 7 si vous devez donner une réponse sans le signe radical.

Conseils

Assurez-vous de mettre le ± à l'endroit approprié, sinon vous n'obtiendrez qu'une seule réponse.
Même une fois que vous connaissez la formule quadratique, entraînez-vous périodiquement à compléter le carré soit en prouvant la formule quadratique, soit en faisant quelques exercices pratiques. De cette façon, vous n'oublierez pas comment le faire lorsque vous en aurez besoin.

Lisez aussi: Comment résoudre une inégalité linéaire simple?

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Pas

Partie 1 sur 2: transformer une équation standard en forme de sommet

Partie 2 sur 2: résolution d'une équation quadratique

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