Comment comprendre l'algèbre?

Pour comprendre l'algèbre, commencez par apprendre les faits d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et comment effectuer ces opérations sur les fractions et les nombres négatifs.

Comprendre l'algèbre peut sembler difficile au début. Mais si vous acquérez une solide connaissance de base des faits mathématiques pour débutants et apprenez une partie du "langage" de l'algèbre, vous pouvez le comprendre beaucoup plus facilement. Les étapes de base pour résoudre des problèmes d'algèbre consistent à effectuer des opérations simples par petites étapes qui "annulent" le problème d'origine. Faire ces étapes avec soin et dans l'ordre devrait vous amener à la solution.

Partie 1 sur 5: connaître vos objectifs en algèbre

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Lisez attentivement les instructions relatives au problème. Lorsque vous avez un ou plusieurs problèmes d'algèbre, vous devez lire attentivement les instructions. Recherchez des mots clés dans les instructions comme «résoudre», «simplifier», «facteur» ou «réduire». Ce sont quelques-unes des instructions les plus courantes (bien qu'il y en ait d'autres que vous apprendrez). Beaucoup de gens ont des problèmes parce qu'ils essaient de «résoudre» un problème alors qu'ils n'ont vraiment besoin que de le «simplifier».
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Effectuez les opérations indiquées. Lorsque vous lisez les instructions du problème, vous devez identifier les mots clés et ensuite effectuer ces opérations. Beaucoup de gens sont frustrés par l'algèbre lorsqu'ils essaient de faire quelque chose qui ne fait pas vraiment partie du problème recherché. Les opérations de base qui vous seront demandées sont:
- Résoudre. Vous devrez réduire le problème à une solution numérique réelle, telle que "x=4". Vous devez trouver une valeur pour la variable qui peut rendre le problème réel.
- Simplifier. Vous devez manipuler le problème sous une forme plus simple qu'auparavant, mais vous ne vous retrouverez pas avec ce que vous pourriez considérer comme «une réponse». Vous n'aurez probablement pas une seule valeur numérique pour la variable.
- Facteur. Ceci est similaire à "simplifier" et est généralement utilisé avec des polynômes ou des fractions complexes. Vous devez trouver un moyen de transformer le problème en termes plus petits. Tout comme le nombre 12 peut être divisé en facteurs de 3x4, par exemple, vous pouvez factoriser un polynôme algébrique.
  - Par exemple, une expression simple comme $5x$ peut être divisée en facteurs de $5$ et $X$ .
  - Par exemple, l'expression $X^{2}+3x+2$ peut être factorisée dans les termes $(x+2)$ et $(x+1)$ .
- Réduire. «réduire» un problème implique généralement une combinaison de factorisation puis de simplification. Vous diviseriez les termes d'un numérateur et d'un dénominateur en leurs facteurs. Recherchez ensuite les facteurs communs en haut et en bas et annulez-les. Ce qui reste, c'est la forme «réduite» du problème originel. Par exemple, réduisez l'expression 6x22x{\displaystyle {\frac {6x^{2}}{2x}}} ${\frac {6x^{2}}{2x}}$ comme suit:
  - 1. Factoriser le numérateur et le dénominateur: ${\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}$
  - 2. Recherchez des termes courants. Le numérateur et le dénominateur ont tous deux des facteurs de 2 et x.
  - 3. Éliminez les termes courants: ${\frac {(3)(2)(x)(x)}{(2)(x)}}$
  - 4. Copiez ce qui reste: $3x$
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Apprenez la différence entre "expression" et "équation". En algèbre, la différence entre une "expression" et une "équation" est très importante. Une expression est tout groupe de nombres et de variables, rassemblés. Quelques exemples d'expressions sont x{\displaystyle x} $X$ , 14xyz{\displaystyle 14xyz} $14xyz$ et 2x+15{\displaystyle {\sqrt {2x+15}}} ${\sqrt {2x+15}}$ . Tout ce que vous pouvez faire pour une expression est de la simplifier ou de la factoriser. Une équation, par contre, contient un signe =. Vous pouvez simplifier ou factoriser des équations, mais vous pouvez également les résoudre pour obtenir une réponse finale. Il est important de chercher la différence.
- Si vous avez une expression, comme $4x^{2}$ , vous ne pouvez jamais trouver une seule "réponse" ou "solution". Vous pourriez découvrir que si $X=1$ , alors l'expression aurait une valeur de 4, et si $X=2$ , alors l'expression aurait une valeur de $(4)(2)^{2}$ , soit 16. Mais vous ne pouvez pas obtenir une seule "réponse".

Certaines personnes peuvent comprendre l'algèbre très rapidement, mais d'autres ont juste besoin de plus de temps.

Partie 2 sur 5: application de l'ordre des opérations

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Apprenez PEMDAS. En algèbre, les étapes que vous effectuez doivent se dérouler dans un ordre logique, appelé «ordre des opérations». Ceci est souvent simplifié par le dispositif mnémotechnique "PEMDAS". Les lettres de PEMDAS vous aideront à savoir quelles opérations effectuer dans l'ordre. Les lettres de PEMDAS signifient:
- Parenthèses.
- Exposants.
- Multiplication.
- Division.
- Une addition.
- Soustraction.
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Effectuez d'abord les opérations entre parenthèses. Lorsque vous avez une expression ou une équation qui inclut des termes entre parenthèses, vous devez d'abord faire ce qu'il y a entre parenthèses. Considérez la différence entre 5∗3+2{\displaystyle 5*3+2} $5*3+2$ et 5∗(3+2){\displaystyle 5*(3+2)} $5*(3+2)$ .
- Sans les parenthèses, la première expression, $5*3+2$ , deviendrait $15+2=17$ .
- Avec les parenthèses, $5*(3+2)$ , vous effectuez le (3+2) en premier, donc l'expression simplifiée devient $5*5=25$ .
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Simplifiez ensuite tous les exposants. Les exposants doivent être exécutés comme étape suivante pour simplifier ou résoudre un problème. Considérons l'expression 3∗22{\displaystyle 3*2^{2}} $3*2^{2}$ . Sans l'ordre des opérations, vous ne sauriez pas si vous devez d'abord multiplier 3∗2{\displaystyle 3*2} $3*2$ puis carrér le résultat, donc votre valeur est 36, ou si vous carréz d'abord le 2, puis multipliez par 3 En utilisant PEMDAS, l'opération correcte est:
- $3*2^{2}$
- $3*4$ .....Placez les 2 en premier.
- $12$ .....C'est le résultat attendu.
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Multipliez ou divisez, de droite à gauche. M et D sont les deux parties suivantes de PEMDAS, et elles vont ensemble. Après avoir effectué les exposants, vous effectuez ensuite la multiplication ou la division de gauche à droite.
- $3+4*2 2$
- $3+8-2$ .... 0,4*2=8, et 2=2. Ceux-ci peuvent être effectués dans la même étape.
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Ajouter ou soustraire, de droite à gauche. A et S sont les dernières étapes de PEMDAS. Cela signifie que vous ajoutez ou soustrayez les termes restants dans l'expression. Vous pouvez effectuer des additions et des soustractions dans la même étape, en vous déplaçant de droite à gauche à travers le problème. Considérons l'expression 4+2−3−1−5+2{\displaystyle 4+2-3-1-5+2} $4+2-3-1-5+2$ :
- $4+2-3-1-5+2$
- $6-3-1-5+2$ .....(Ajouter 4+2)
- $3-1-5+2$ .....(Soustraire 6-3)
- $2-5+2$ .....(Soustrayez 3-1)
- $-3+2$ .....(Soustrayez 2-5)
- $-1$ .....(Ajouter -3+1)
- Si vous effectuez les étapes dans un autre ordre, vous pouvez obtenir un résultat différent et incorrect. Par exemple, supposons que vous choisissiez de faire d'abord toutes les additions, puis les soustractions:
- $4+2-3-1-5+2$
- $6-3-1-7$ .....(Ajouter 4+2 et ajouter 5+2)
- $3-1-7$ .....(Soustraire 6-3)
- $2-7$ .....(Soustrayez 3-1)
- $-5$ .....(Soustrayez 2-7. Cela donne un résultat de -5, ce qui est incorrect.)

Le moyen le plus simple est de lire un manuel d'algèbre et de comprendre chaque concept tel qu'il est présenté.

Partie 3 sur 5: travailler avec des variables

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Habituez-vous à des symboles autres que des nombres. Au début des mathématiques, vous ne travailliez qu'avec des nombres. Apprendre l'algèbre, c'est être capable de résoudre des problèmes avec des termes inconnus. Ces termes inconnus sont représentés dans les problèmes de lettres. Vous devez vous habituer à traiter ces lettres comme des chiffres, même si vous ne connaissez peut-être pas encore leur valeur réelle. Voici quelques exemples courants de variables:
- Lettres, telles que $X$ , $Oui$ ou $Z$
- Symboles grecs, tels que $\theta$ , $\alpha$ ou $\sigma$ .
- Sachez que certains symboles peuvent ressembler à des variables mais sont en fait des nombres connus. Par exemple, le symbole grec pi, $\pi$ , représente le nombre 3,1415.
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Considérez la variable comme un espace réservé inconnu. Si vous pensez à la phrase "Deux fois un nombre", vous pouvez l'exprimer avec une variable sous la forme 2∗x{\displaystyle 2*x} $2*x$ . La variable x{\displaystyle x} $X$ remplace le "quelque nombre" inconnu. Habituellement, votre travail dans un problème d'algèbre consiste à trouver la valeur de la variable.
- Par exemple, lorsque vous commencez avec l'équation $4+x=9$ , vous devez penser: «Quel nombre ajouté à 4 fera 9?» La solution est 5, que vous pouvez écrire algébriquement sous la forme $X=5$ .
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Combinez les variables communes ensemble. Lorsque vous apprenez à traiter les variables comme des nombres, vous pouvez les combiner ou les simplifier comme vous le faites avec des nombres. C'est ce que l'on appelle généralement «la combinaison de termes similaires».
- Par exemple, $2x+3x=10$ signifie simplement que 2 d'une variable ajoutée à 3 de la même variable équivaudra à 10. Si vous avez 2 de quelque chose et 3 de la même chose, vous pouvez les additionner. Ensuite, $2x+3x$ deviendra 5x, donc votre problème est $5x=10$ , et la solution est $X=2$ .
- Vous pouvez seulement ajouter ou soustraire la même variable. Certains problèmes d'algèbre peuvent contenir deux ou plusieurs variables. Dans le problème $2x+3a=10$ , vous ne pouvez pas combiner les termes $X$ et $Oui$ car les différentes variables représentent différents nombres inconnus.

Vous pouvez le comprendre beaucoup plus facilement — Mais si vous acquérez une solide connaissance de base des faits mathématiques pour débutants et apprenez une partie du "langage" de l'algèbre, vous pouvez le comprendre beaucoup plus facilement.

Partie 4 sur 5: résoudre des problèmes d'algèbre avec des opérations inverses

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Apprenez le concept des fonctions inverses. L'une des clés du succès en algèbre consiste à exécuter des fonctions inverses. Le mot «inverse» signifie opposé. Les fonctions inverses sont un moyen de défaire ou de démêler un problème. Si un problème choisi, par exemple, contient une multiplication, vous utiliserez la division, qui est l'inverse de la multiplication, pour résoudre le problème.
- L'inverse de l'addition est la soustraction.
- L'inverse de la soustraction est l'addition.
- L'inverse de la multiplication est la division.
- L'inverse de la division est la multiplication.
- L'inverse d'un exposant est une racine (racine carrée, racine cubique, etc.).
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Concentrez-vous sur l'isolement de la variable. Si on vous demande de "résoudre" une équation, cela signifie que vous voulez vous retrouver avec x={\displaystyle x=} $X=$ _, avec un certain nombre dans l'espace vide. Vous devez utiliser l'algèbre pour éloigner tout le reste du terme x{\displaystyle x} $X$ afin qu'il soit seul d'un côté du signe égal. Vous le ferez avec une série d'opérations inverses.
- La règle clé à retenir est que toute opération que vous effectuez sur un côté de l'équation, vous devez également faire la même chose sur le côté opposé de l'équation. Cela gardera l'équation équilibrée et toujours égale.
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Annulez l'addition en utilisant la soustraction (et vice versa). Les termes individuels d'une équation sont liés par une combinaison de signes plus et moins. Vous pouvez les "annuler" pour obtenir la variable seule en faisant la fonction inverse.
- Par exemple, si vous commencez par x+3=7{\displaystyle x+3=7} $X+3=7$ , vous voulez que le x{\displaystyle x} soit $X$ seul. L'inverse de +3{\displaystyle +3} $+3$ est -3{\displaystyle -3} $-3$ . N'oubliez pas que vous devez tout faire de manière égale des deux côtés de l'équation. Vous obtiendrez donc:
  - $X+3=7$
  - $X+3-3=7-3$ .....(soustrait 3 également des deux côtés)
  - $X=4$ .....(les +3 et -3 s'annulent pour laisser la solution)
- Si vous commencez par un problème de soustraction, vous l'annulerez de la même manière avec l'addition:
  - $X-8=12$
  - $X-8+8=12+8$ .....(ajouter 8 des deux côtés)
  - $X=20$ .....(les +8 et -8 s'annulent pour laisser la solution)
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Annulez la multiplication en utilisant la division (et vice versa). De la même manière, vous pouvez effectuer des opérations inverses sur la multiplication et la division. Un terme comme 3x{\displaystyle 3x} $3x$ signifie 3∗x{\displaystyle 3*x} $3*x$ . Pour obtenir la variable seule, vous allez diviser. N'oubliez pas que pour une équation, vous devez diviser également les deux côtés de l'équation.
- Considérez le problème 3x=24{\displaystyle 3x=24} $3x=24$ . Puisqu'il s'agit d'un problème de multiplication, vous le résoudrez par division:
  - $3x=24$
  - ${\frac {3x}{3}}={\frac {24}{3}}$ .....(Divisez les deux côtés également par 3. Notez que le $\div$ symbole $}$ n'est généralement pas utilisé en algèbre. Au lieu de cela, montrez la division en écrivant les termes sous forme de fraction.)
  - $X=8$ .....(les 3 à gauche s'annulent pour laisser la solution)
- Faites de même pour annuler un problème de division avec multiplication. Considérons le problème x4=9{\displaystyle {\frac {x}{4}}=9} ${\frac {x}{4}}=9$ :
  - ${\frac {x}{4}}=9$
  - ${\frac {x}{4}}*4=9*4$ .....(multiplier les deux côtés par 4)
  - $X=36$ .....(les 4 à gauche s'annulent pour laisser la solution)
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Utilisez une combinaison d'addition/soustraction et de multiplication/division. Au fur et à mesure que les problèmes se compliquent, vous devrez peut-être effectuer plusieurs opérations pour trouver une solution. Vous utiliserez généralement d'abord l'addition et la soustraction, pour isoler la variable avec son coefficient. Ensuite, vous utiliserez la multiplication ou la division pour trouver la solution.
- $3x+5=23$
- $3x+5-5=23-5$ .....(d'abord, soustrayez 5 des deux côtés pour laisser le terme x seul)
- $3x=18$ .....(les +5 et -5 s'annulent à gauche)
- ${\frac {3x}{3}}={\frac {18}{3}}$ .....(diviser les deux côtés par 3)
- $X=6$ .....(les 3 à gauche s'annulent, laissant la solution)
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Vérifiez votre résultat. En algèbre, vous pouvez presque toujours savoir si vous avez résolu le problème correctement en vérifiant votre réponse. Prenez la solution que vous avez trouvée et réinsérez-la dans le problème d'origine à la place de la variable. Ensuite, simplifiez le problème, et si vous atteignez un énoncé vrai, votre solution était correcte.
- Essayez l'exemple que vous venez de résoudre, 3x+5=23{\displaystyle 3x+5=23} $3x+5=23$ . Mettez la solution de x=6{\displaystyle x=6} $X=6$ à la place de la variable:
  - $3x+5=23$
  - $3(6)+5=23$ .....(Insérez la valeur $X=6$ .)
  - $18+5=23$ .....(Simplifiez l'équation.)
  - $23=23$ ..... (C'est vrai, donc votre solution de $X=6$ est correcte.)

Partie 5 sur 5: construire une base solide pour l'apprentissage

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Apprenez les faits mathématiques de base. L'algèbre est un système de manipulation de nombres et d'opérations pour essayer de résoudre des problèmes. Lorsque vous apprenez l'algèbre, vous apprendrez les règles à suivre pour résoudre des problèmes. Mais pour vous faciliter la tâche, vous devez avoir une solide compréhension des faits mathématiques de base. Vous devez connaître les bases des additions, soustractions, multiplications et divisions et être capable de les utiliser facilement. En particulier, vous devriez pouvoir effectuer les opérations suivantes:
- Ajoutez et soustrayez rapidement des nombres à un chiffre dans votre tête. Être capable de travailler avec des nombres à deux chiffres est encore plus utile.
- Connaissez vos tables de multiplication de 1 à 12.
- Connaître la division et les facteurs pour les nombres jusqu'à 144 (12x12).
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Pratiquez les règles des fractions. L'algèbre utilise les règles des fractions autant que tout autre système de numération. Vous devez être à l'aise pour trouver des dénominateurs communs, additionner et soustraire des fractions, multiplier et diviser des fractions. Lorsque vous apprenez l'algèbre, vous développez ces connaissances en travaillant avec des variables inconnues, mais vous avez d'abord besoin d'une solide compréhension des bases.
- Connaître l'importance des réciproques. Vous devez connaître le concept des nombres réciproques. La définition courte d'une réciproque est qu'il s'agit d'une fraction renversée. Ainsi, l'inverse de ${\frac {2}{3}}$ est ${\frac {3}{2}}$ , et l'inverse de ${\frac{4}{5}}$ est ${\frac [5]}{4}}$ . Vous utilisez les réciproques comme alternative à la division, lorsque le problème est compliqué. Au lieu de diviser par une fraction, vous pouvez multiplier par sa réciproque.
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Savoir utiliser les nombres négatifs. Vous utiliserez souvent des nombres ou des variables négatifs. Vous devriez revoir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des valeurs négatives avant de commencer à apprendre l'algèbre. Voici quelques règles de base pour travailler avec des négatifs. Vous pouvez également consulter nos articles sur l'addition et la soustraction de nombres négatifs et la division et la multiplication de nombres négatifs.
- Sur une droite numérique, un nombre négatif est à la même distance de zéro que le positif, mais dans la direction opposée.
- Un négatif plus un négatif sera également négatif. L'addition de deux nombres négatifs rend le nombre plus négatif.
- Deux signes négatifs s'annulent ensemble. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif.
  - 4-(-3) équivaut à 4+3 = 7.
- Multiplier ou diviser deux nombres négatifs donne une réponse positive.
- Multiplier ou diviser un nombre positif et un nombre négatif donne une réponse négative.

En algèbre, la différence entre une "expression" et une "équation" est très importante.

Conseils

Utilisez de bonnes compétences d'étude. Assistez aux cours, faites les lectures assignées et faites vos devoirs. Comprendre l'algèbre demande de la pratique.
Travaillez avec votre professeur. Si vous avez des questions ou des problèmes, parlez-en à votre professeur. Certaines personnes peuvent comprendre l'algèbre très rapidement, mais d'autres ont juste besoin de plus de temps. Votre professeur peut aussi avoir une autre façon de vous expliquer les choses. Au lieu d'abandonner, allez demander de l'aide.
Vérifiez toujours vos réponses. Chaque fois que vous avez terminé un problème, revoyez-le pour voir si votre solution permet de vérifier correctement l'équation.
En continuant à partir de la partie PEMDAS, vous pouvez également la transformer en PBEMDAS. Le 'B' signifie parenthèses. Cela peut être utile si votre région les utilise (d'autres non).

Lisez aussi: Comment résoudre les entiers et leurs propriétés?