Comment résoudre les inégalités quadratiques?

Tracez une droite numérique qui inclut les positions pour -7 — Par exemple, puisque les racines de l'inégalité sont et, tracez une droite numérique qui inclut les positions pour -7 et 3.

Une inégalité quadratique est celle qui inclut un terme $X^{{2}}$ et a donc deux racines, ou deux abscisses à l'origine. Cela se traduit par une parabole lors du tracé de l'inégalité sur un plan de coordonnées. Résoudre une inégalité signifie trouver les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. Vous pouvez montrer ces solutions algébriquement, ou en illustrant l'inégalité sur une droite numérique ou un plan de coordonnées.

Partie 1 sur 4: factoriser l'inégalité

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Écrivez l'inégalité sous la forme standard. La forme standard d'un quadratique est un trinôme qui suit la structure ax2+bx+c<0{\displaystyle ax^{2}+bx+c<0} $Hache^{{2}}+bx+c<0$ , où a{\displaystyle a} $UNE$ , b{\displaystyle b} $B$ , et c{\displaystyle c} $C$ sont des coefficients connus, et a≠0{\displaystyle a\neq 0} $A\neq 0$ .
- Par exemple, l'inégalité $X(x+4)<21$ n'est pas sous forme standard. Tout d'abord, vous devez utiliser la propriété distributive pour multiplier $X$ et $X+4$ . Ensuite, vous devez soustraire 21 des deux côtés de l'inégalité:
  $X(x+4)<21$
  $X^{{2}}+4x<21$
  $X^{{2}}+4x-21<21-21$
  $X^{{2}}+4x-21<0$
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Trouvez deux facteurs dont le produit est le premier terme de l'inégalité. Pour factoriser l'inégalité, vous devez trouver deux binômes dont le produit est égal à la forme standard de l'inégalité. Un binôme est une expression à deux termes. Pour ce faire, vous devez compléter la méthode FOIL en sens inverse. Commencez par trouver deux facteurs pour le premier terme de chaque binôme.
- Par exemple, $X\fois x=x^{{2}}$ , vous pouvez donc commencer à configurer vos facteurs comme ceci: $(x)(x)<0$ .
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Trouvez deux facteurs dont le produit est le troisième terme de la forme standard de l'inégalité. Ces deux facteurs doivent également avoir une somme égale au deuxième terme de l'inégalité. Vous devrez probablement effectuer un travail de devinette et de vérification à ce stade, pour voir quels sont les deux facteurs qui répondent à ces deux exigences. Assurez-vous également de porter une attention particulière aux signes positifs et négatifs.
- Par example:
  - $7\fois -3=-21$
  - -21 est le troisième terme de l'inégalité, donc ces deux facteurs (7 et -3) pourraient fonctionner. Maintenant, vous devez voir si la somme de ces facteurs est égale au deuxième terme ( $4$ ) de l'inégalité.
  - Puisque $7+-3=4$ , ces deux facteurs satisfont aux deux exigences. Ainsi, votre inégalité factorisée est $(x+7)(x-3)<0$ .

Pour résoudre une inégalité quadratique, écrivez-la d'abord comme ax^2 + bx + c est inférieur à 0.

Partie 2 sur 4: déterminer les racines de l'inégalité

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Déterminez si vos facteurs ont le même signe. Si, d'après l'inégalité, le produit des facteurs est supérieur à zéro, alors soit les deux facteurs seront négatifs (inférieurs à 0), soit les deux facteurs seront positifs (supérieurs à 0), car un négatif multiplié par un négatif est égal à un positif, et un positif fois un positif est égal à un positif.
- Si l'inégalité est supérieure ou égale à ( $\geq$ ) ou inférieure ou égale à ( $\leq$ ), l'un ou les deux facteurs peuvent être nuls.
- Par exemple, pour l'inégalité $(x+7)(x-3)<0$ , le produit des facteurs est inférieur à 0, et donc les deux facteurs n'aura pas le même signe.
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Déterminez si vos facteurs ont des signes opposés. Si, selon l'inégalité, le produit des facteurs est inférieur à 0, alors un facteur sera inférieur à 0, ou négatif, et l'autre facteur sera supérieur à zéro, ou positif. C'est parce qu'un négatif multiplié par un positif est égal à un négatif.
- Encore une fois, si l'inégalité est supérieure ou égale à ( $\geq$ ) ou inférieure ou égale à ( $\leq$ ), l'un ou les deux facteurs peuvent être nuls.
- Par exemple, pour l'inégalité $(x+7)(x-3)<0$ , le produit des facteurs est inférieur à 0, et donc les deux facteurs aura des signes différents.
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Écrivez les options pour les racines. Écrivez ces options en transformant chaque facteur en une inégalité, selon qu'ils auront le même signe ou des signes opposés. Vous devriez avoir deux options.
- Par exemple, vous avez trouvé que les facteurs de l'inégalité $(x+7)(x-3)<0$ doivent avoir des signes opposés, donc vos options seraient énoncées ainsi:
  $X+7<0$ AND $X-3>0$ (c'est-à-dire que le premier facteur sera négatif et le deuxième facteur sera positif.)
  OU
  $X+7>0$ ET $X-3<0$ (c'est-à-dire que le premier facteur sera positif et le deuxième facteur sera négatif.)
4
Simplifiez les racines pour la première option. Pour simplifier, isolez la variable x{\displaystyle x} $X$ pour chaque facteur. N'oubliez pas que si vous multipliez ou divisez une inégalité par un nombre négatif, vous devez inverser le signe de l'inégalité.
- Par exemple, la première option pour (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} $(x+7)(x-3)<0$ était que x+7<0{\displaystyle x+7<0 } $X+7<0$ ET x−3>0{\displaystyle x-3>0} $X-3>0$ .
  - Tout d'abord, résolvez $X+7<0$ pour $X$ :
    $x+7−7<0−7{\displaystyle x+7-7<0-7}$
    $X<-7$
  - Puis résolvez $X-3>0$ pour $X$ :
    $X-3+3>0+3$
    $X<3$
- Ainsi, vos racines simplifiées pour la première option sont $X<-7$ et $X>3$ .
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Vérifiez la validité des racines de votre première option. Pour ce faire, voyez si vous pouvez combiner les racines pour faire une inégalité correcte. Si vous pouvez trouver des valeurs vraies pour les deux racines, alors l'option est valide. Si vous ne pouvez pas, les racines de cette option ne sont pas valides.
- Par exemple, pour la première option, $X<-7$ et $X>3$ , vous devez déterminer s'il existe des valeurs qui satisfont aux deux exigences. Demandez-vous si une valeur est à la fois inférieure à -7 et supérieure à 3? Comme aucun nombre ne peut être à la fois inférieur à -7 et supérieur à 3, vous savez que cette option n'est pas valide.
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Simplifiez les racines de la deuxième option. Isolez la variable x{\displaystyle x} $X$ pour chaque facteur, en vous rappelant d'inverser le signe d'inégalité si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
- Par exemple, la deuxième option pour (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} $(x+7)(x-3)<0$ était que x+7>0{\displaystyle x+7>0 } $X+7>0$ ET x−3<0{\displaystyle x-3<0} $X-3<0$ .
  - Tout d'abord, résolvez $X+7>0$ pour $X$ :
    $X+7-7>0-7$
    $X>-7$
  - Puis résolvez $X-3<0$ pour $X$ :
    $x−3+3<0+3{\displaystyle x-3+3<0+3}$
    $X<3$
- Ainsi, vos racines simplifiées pour la deuxième option sont $X>-7$ et $X<3$ .
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Vérifiez la validité des racines pour votre deuxième option. Si vous pouvez trouver des valeurs vraies pour les deux racines, alors l'option est valide. Si vous ne pouvez pas, les racines de cette option ne sont pas valides.
- Par exemple, la deuxième option est que $X>-7$ et $X<3$ , vous devez donc trouver une valeur pour $X$ qui satisferait à la fois inégalités. Demandez-vous s'il y a une valeur qui est à la fois supérieure à -7 et inférieure à 3? Comme il existe de nombreux nombres à la fois supérieurs à -7 et inférieurs à 3 (0, par exemple), vous savez que cette option est valide et que ces racines sont donc la solution à l'inégalité.

Pour savoir s'il faut ombrager à l'intérieur de la parabole ou à l'extérieur de la parabole, regardez vos racines, ou votre droite numérique.

Partie 3 sur 4: tracer la solution définie sur une droite numérique

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Tracez une droite numérique. Assurez-vous de le dessiner selon les spécifications requises. Si votre droite numérique n'a pas de spécifications, assurez-vous simplement d'inclure les positions pour les deux valeurs x{\displaystyle x} que $X$ vous avez trouvées précédemment. Incluez quelques valeurs au-dessus et en dessous de celles-ci pour rendre la droite numérique plus facile à interpréter.
- Par exemple, puisque les racines de l'inégalité $X(x+4)<21$ sont $X>-7$ et $X<3$ , tracez une droite numérique qui inclut les positions pour -7 et 3.
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Tracez les valeurs $X$ sur la droite numérique. Tracez les points en traçant un cercle sur leur position sur la droite numérique. Si l'inégalité est supérieure à ( >{\displaystyle >} $>$ ) ou inférieure à ( <{\displaystyle <} $<$ ), tracez un cercle vide. Si l'inégalité est supérieure ou égale à ( ≥{\displaystyle \geq } $\geq$ ) ou inférieure ou égale à ( ≤{\displaystyle \leq } $\leq$ ), remplissez le cercle sur la droite numérique, car les valeurs sont incluses dans le ensemble.
- Par exemple, puisque les racines avec lesquelles vous travaillez sont $X>-7$ et $X<3$ , vous traceriez des cercles ouverts aux positions -7 et 3 sur le nombre ligne.
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Dessinez des flèches ou des lignes indiquant les valeurs incluses. Si x{\displaystyle x} $X$ est supérieur à la valeur, tracez une ligne pointant vers la droite sur la droite numérique, car les valeurs incluses seront supérieures à x{\displaystyle x} $X$ . Si x{\displaystyle x} $X$ est inférieur à la valeur, tracez une ligne pointant vers la gauche sur la droite numérique, car les valeurs incluses seront inférieures à x{\displaystyle x} $X$ . Si les valeurs incluses sont comprises entre deux nombres, vous tracerez une ligne entre les deux points tracés.
- Par exemple, puisque vous voulez montrer que $X>-7$ mais aussi $X<3$ , vous devez tracer une ligne entre -7 et 3 sur la droite numérique.

Vous devez donc trouver une valeur pour qui satisferait les deux inégalités — Par exemple, la deuxième option est que et, vous devez donc trouver une valeur pour qui satisferait les deux inégalités.

Partie 4 sur 4: tracer la solution définie sur un plan de coordonnées

1
Tracez les abscisses à l'origine sur le plan de coordonnées. Une abscisse est un point où la parabole croise l'axe des x. Les deux racines que vous avez trouvées sont les abscisses à l'origine.
- Par exemple, si l'inégalité est $X^{{2}}+4x-21<0$ , alors les x-intercepts sont $X>-7$ et $X<3$ , car ce sont les racines que vous avez trouvées en utilisant la formule quadratique ou la factorisation.
2
Trouvez l'axe de symétrie. L'axe de symétrie est la ligne qui coupe la parabole en deux. Pour trouver l'axe de symétrie, utilisez la formule x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} $X={\frac {-b}{2a}}$ , où a{\displaystyle a} $UNE$ et b{\displaystyle b} $B$ correspondent aux termes dans l'inégalité quadratique originelle.
- Par exemple, pour l'inégalité $X^{{2}}+4x-21<0$ , vous calculerez d'abord $X={\frac {-4}{2(1)}}$ :
  $X={\frac {-4}{2}}$
  $X=-2$ . Ainsi, l'axe de symétrie est la droite $X=-2$
3
Trouvez le sommet de la parabole. Le sommet est le point haut ou bas de la parabole. Pour trouver le sommet, changez d'abord l'inégalité d'origine en une équation égale à y{\displaystyle y} $Oui$ . Ensuite, branchez la valeur x{\displaystyle x} $X$ que vous avez trouvée pour l'axe de symétrie dans l'équation.
- Par exemple, si l'axe de symétrie est $X=-2$ , branchez -2 dans l'équation et résolvez:
  $Y=(-2)^{{2}}+4(-2)+-21$
  $J=4-8-21$
  $J=4-8-21$
  Ainsi, le sommet de la parabole est au point $(-2,-25)$ .
4
Déterminer la direction de la parabole. Pour connaître la direction de la parabole, regardez le terme a{\displaystyle a} $UNE$ de l'inégalité sous forme standard. Si le terme a{\displaystyle a} $UNE$ est positif, la parabole sera "à l'endroit", ce qui signifie qu'elle s'ouvre vers le haut. Si le terme a{\displaystyle a} $UNE$ est négatif, la parabole sera "à l'envers", c'est-à- dire qu'elle s'ouvre vers le bas.
- Puisque le terme $UNE$ dans l'inégalité $X^{{2}}+4x-21<0$ est positif, la parabole sera à l'endroit.
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Tracez la parabole avec une ligne continue ou en pointillé. Si l'inégalité est supérieure ou égale à ( ≥{\displaystyle \geq } $\geq$ ) ou inférieure ou égale à ( ≤{\displaystyle \leq } $\leq$ ), tracez la parabole avec un trait plein, puisque les valeurs sur la ligne sont incluses dans l'ensemble de solutions. Si l'inégalité est supérieure à ( >{\displaystyle >} $>$ ) ou inférieure à ( <{\displaystyle <} $<$ ), tracez la parabole avec une ligne pointillée, car les valeurs sur la ligne ne sont pas incluses dans l'ensemble de solutions.
- Étant donné que la ligne $X^{{2}}+4x-21<0$ est inférieure à zéro (ni inférieure ni égale à), vous devez tracer la parabole avec une ligne pointillée.
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Ombrez le graphique. Pour savoir s'il faut ombrager au-dessus ou en dessous de l'axe des x, vous devez examiner l'inégalité d'origine. Si l'inégalité est inférieure à zéro, vous ombrerez sous l'axe des x. Si l'inégalité est supérieure à zéro, vous ombrerez au-dessus de l'axe des x. Pour savoir s'il faut ombrager à l'intérieur de la parabole ou à l'extérieur de la parabole, regardez vos racines, ou votre droite numérique. Si les valeurs valides de x{\displaystyle x} $X$ se situent entre les deux racines, vous ombrerez à l'intérieur de la parabole. Si les valeurs valides de x{\displaystyle x} $X$ se trouvent en dehors des deux racines, vous ombrerez en dehors de la parabole.
- Par exemple, puisque l'inégalité est $X^{{2}}+4x-21<0$ , vous ombrerez une région sous l'axe des x. Étant donné que les valeurs valides se situent entre les racines -7 et 3, vous allez ombrer la région entre ces deux points.