Comment trouver l'espace nul d'une matrice?
L'espace nul d'une matrice est l'ensemble des vecteurs qui satisfont l'équation homogène Contrairement à l'espace des colonnes, la relation entre les colonnes de et n'est pas immédiatement évidente.
L'espace nul d'une matrice A{\displaystyle A} est l'ensemble des vecteurs qui satisfont l'équation homogène Ax=0.{\displaystyle A\mathbf {x} =0.} Contrairement à l'espace colonne ColA,{\displaystyle \operatorname {Col} A,} il n'est pas immédiatement évident quelle est la relation entre les colonnes de A{\displaystyle A} et NulA.{\displaystyle \operatorname {Nul} A.}
Chaque matrice a un espace nul trivial - le vecteur zéro. Cet article montrera comment trouver des espaces nuls non triviaux.
- 1Considérons une matrice a{\displaystyle a} avec des dimensions de m×n{\displaystyle m\times n} . Ci-dessous, votre matrice est 3×5.{\displaystyle 3\times 5.}
- A=(−36−11−71−223−12−458−4){\displaystyle A={\begin{pmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\ fin{pmatrix}}}
- 2Row-réduire à la forme échelonnée réduite de rangée (RREF). Pour les grandes matrices, vous pouvez généralement utiliser une calculatrice. Reconnaître que la réduction de ligne ici ne change pas l'augmentation de la matrice car l'augmentation est 0.
- (1−20−130012−20000){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}
- Nous pouvons clairement voir que les pivots - les coefficients dominants - reposent dans les colonnes 1 et 3. Cela signifie que x1{\displaystyle x_{1}} et x3{\displaystyle x_{3}} ont leurs équations d'identification. Le résultat est que x2,x4,x5{\displaystyle x_{2},x_{4},x_{5}} sont toutes des variables libres.
- 3Écrivez la matrice RREF sous forme d'équation.
- x1−2x2−x4+3x5=0x3+2x4−2x5=0{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}-x_{4}+3x_{5}&=0\\x_{ 3}+2x_{4}-2x_{5}&=0\end{aligned}}}
- 4Reparamétrez les variables libres et résolvez.
- Soit x2=r,x4=s,x5=t.{\displaystyle x_{2}=r,x_{4}=s,x_{5}=t.} Alors x1=2r+s−3t{\displaystyle x_ {1}=2r+s-3t} et x3=−2s+2t.{\displaystyle x_{3}=-2s+2t.}
- x=(2r+s−3tr−2s+2tst){\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2r+s-3t\\r\\-2s+2t\\s\\t\end {pmatrice}}}
- 5Réécrivez la solution sous la forme d'une combinaison linéaire de vecteurs. Les poids seront les variables libres. Parce qu'ils peuvent être n'importe quoi, vous pouvez écrire la solution sous forme d'intervalle.
- NulA=Span{(210000),(10−210),(−30201)}{\displaystyle \operatorname {Nul} A=\operatorname {Span} \left\{{\begin{pmatrix}2\\ 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix} -3\\0\\2\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
- Cet espace nul est dit de dimension 3, car il y a trois vecteurs de base dans cet ensemble, et est un sous-ensemble de R5,{\displaystyle \mathbb {R} ^{5},} pour le nombre d'entrées dans chaque vecteur.
- Notez que les vecteurs de base n'ont pas grand-chose en commun avec les lignes de A{\displaystyle A} au début, mais une vérification rapide en prenant le produit scalaire de l'une des lignes de A{\displaystyle A} avec l'une des bases vecteurs de NulA{\displaystyle \operatorname {Nul} A} confirme qu'ils sont orthogonaux.
Nous revenons donc à la matrice d'origine A et les deux premières colonnes de la matrice d'origine A forment la base de l'espace des colonnes.
- Pour une matrice A m×n{\displaystyle m\times n} ,{\displaystyle A,} si n>m,{\displaystyle n>m,} alors il y aura toujours un espace nul non trivial de A,{ \displaystyle A,} car il n'y aura pas de pivot dans chaque colonne (et aura donc des variables libres).
- Rappelez-vous que pour une matrice A m×n{\displaystyle m\times n} ,{\displaystyle A,} NulA{\displaystyle \operatorname {Nul} A} est toujours un sous-ensemble de Rn.{\displaystyle \mathbb { R} ^{n}.}
- La dimension de l'espace nul apparaît dans le théorème du rang, qui postule que le rang d'une matrice est la différence entre la dimension de l'espace nul et le nombre de colonnes.
- RangA=dimColA−dimNulA{\displaystyle \operatorname {Rang} A=\operatorname {dim} \operatorname {Col} A-\operatorname {dim} \operatorname {Nul} A}
Lisez aussi: Comment soustraire des milliers?
Questions et réponses
- Comment trouvez-vous la base de l'espace des colonnes d'une matrice?Row réduisez la matrice et choisissez les colonnes qui ont des points de pivot. Utilisons la matrice A: 1 3 5, 5 6 7, 10 12 14. Si on la réduit maintenant, on obtient la matrice suivante: 1 0 -1, 0 1 2, 0 0 0. Les deux premières colonnes ont pivot positions, mais pas la dernière colonne. Nous revenons donc à la matrice d'origine A et les deux premières colonnes de la matrice d'origine A forment la base de l'espace des colonnes.
En parallèle
