Comment calculer les probabilités de plusieurs dés?

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   Notez le nombre de dés, leurs côtés et la somme désirée.
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   Énumérez toutes les façons dont cette somme peut être atteinte. Cela peut être fastidieux pour un grand nombre de dés, mais c'est assez simple. Cela équivaut à trouver toutes les partitions de k en exactement n parties sans aucune partie plus grande que r. Un exemple pour n=5, r=6 et k=12 est montré à titre d'exemple. Afin de s'assurer que le décompte est à la fois exhaustif et qu'aucune partition n'est comptée deux fois, les partitions sont présentées par ordre lexicographique et les dés de chaque partition par ordre non décroissant.
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   Toutes les partitions répertoriées à l'étape précédente ne sont pas également probables. C'est pourquoi ils doivent être répertoriés, pas simplement comptés. Dans un exemple plus petit à 3 matrices, la partition 123 couvre 6 possibilités (123, 132, 213, 231, 312, 321) tandis que la partition 114 n'en couvre que 3 (114, 141, 411) et 222 ne comprend que lui-même. Utilisez la formule multinomiale pour calculer le nombre de façons de permuter les chiffres dans chaque partition. Cette information a été ajoutée au tableau de la section précédente.
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   Additionnez le nombre total de façons d'obtenir la somme désirée.
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   Divisez par le nombre total de résultats. Puisque chaque dé a r faces également probables, c'est simplement r ⁿ.

Cette méthode donne la probabilité de toutes les sommes pour tous les nombres de dés. Il peut être facilement mis en œuvre sur une feuille de calcul.

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   Notez les probabilités des résultats d'un seul dé. Enregistrez-les dans une feuille de calcul. L'exemple illustré utilise des dés à 6 faces. Les lignes vides pour les sommes négatives sont traitées comme des zéros et permettent d'utiliser la même formule dans toutes les lignes.
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   Dans la colonne pour 2 dés, utilisez la formule indiquée. C'est-à-dire que la probabilité de 2 dés montrant n'importe quelle somme k est égale à la somme des événements suivants. Pour des valeurs très élevées ou faibles de k, certains ou tous ces termes peuvent être nuls, mais la formule est valable pour tous les k.

   • Le premier dé indique k-1 et le second indique 1.
   • Le premier dé indique k-2 et le second indique 2.
   • Le premier dé indique k-3 et le second indique 3.
   • Le premier dé indique k-4 et le second indique 4.
   • Le premier dé indique k-5 et le second montre 5.
   • Le premier dé indique k-6 et le second indique 6.
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   De même, pour trois dés ou plus, la même formule s'applique toujours, en utilisant les probabilités maintenant connues pour chaque somme donnée sur un dé de moins. Ainsi, la formule entrée à l'étape deux peut être remplie à la fois vers le bas et vers le bas jusqu'à ce que le tableau contienne autant de données que nécessaire.
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   La feuille de calcul présentée a calculé le "nombre de voies" et non la "probabilité", mais la conversion entre elles est facile: probabilité = nombre de voies / r^n où r est le nombre de faces de chaque dé et n est le nombre de dés. Alternativement, la feuille de calcul peut être modifiée pour calculer directement la probabilité.

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   Écrivez le polynôme, (1/r)(x + x ² +... + x ^r). C'est la fonction génératrice d'un seul dé. Le coefficient du terme x ^k est la probabilité que le dé indique k.
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   Soulever ce polynôme à la n ^ième puissance pour obtenir la fonction génératrice correspondant à la somme indiquée sur n dés. C'est-à-dire calculer (1/r ⁿ)(x + x ² +... + x ^r) ⁿ. Si n est supérieur à environ 2, vous souhaiterez probablement le faire sur un ordinateur.
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   D'un point de vue informatique, cela équivaut à la méthode précédente, mais il est parfois plus facile de dériver des résultats théoriques avec une fonction génératrice. Par exemple, lancer deux dés réguliers à 6 faces a exactement la même distribution de sommes qu'un dé étiqueté (1, 2, 2, 3, 3, 4) et un autre étiqueté (1, 3, 4, 5, 6, 8). C'est parce que (x+x ² +x ² +x ³ +x ³ +x ⁴)(x+x ³ +x ⁴ +x ⁵ +x ⁶ +x ⁸) = (x+x ² +x ³+x ⁴ +x ⁵ +x ⁶)(x+x ² +x ³ +x ⁴ +x ⁵ +x ⁶).

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   Pour un grand nombre de dés, le calcul exact par les méthodes ci-dessus peut être difficile. Le théorème central limite stipule que la somme d'un nombre de dés identiques se rapproche d'une distribution normale lorsque le nombre de dés augmente.
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   Calculez la variation moyenne et standard en fonction du nombre et du type de dés. En supposant n dés numérotés de 1 à r, les formules ci-dessous s'appliquent.

   • La moyenne est (r+1)/2.
   • La variance est n(r^2-1)/12.
   • L'écart type est la racine carrée de la variance.
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   Utilisez la distribution normale avec la moyenne et l'écart type ci-dessus comme une approximation de la somme des dés.