Comment résoudre un vecteur en composants?

Pour un vecteur horizontal, la composante verticale est nulle, et pour un vecteur vertical, la composante horizontale est nulle.

Un vecteur est une représentation graphique d'une force physique. Il pourrait représenter un mouvement, comme un avion se déplaçant dans une direction nord-est à 400 mph (640 km/h). Il pourrait également représenter une force, telle qu'une balle qui roule d'une table et tombe en diagonale vers le bas en raison de la force de gravité et de sa vitesse initiale hors de la table. Il est souvent utile de pouvoir calculer les composantes de n'importe quel vecteur. C'est-à-dire combien de force (ou de vitesse, ou tout ce que votre vecteur mesure) est appliquée dans la direction horizontale, et combien est appliquée dans la direction verticale. Vous pouvez le faire graphiquement, en utilisant une géométrie simple. Pour des calculs plus précis, vous pouvez utiliser la trigonométrie.

Méthode 1 sur 4: identification des composants par graphique

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Sélectionnez une échelle appropriée. Pour représenter graphiquement le vecteur et ses composants, vous devez choisir une échelle pour votre graphique. Vous devez choisir une échelle suffisamment grande pour travailler confortablement et avec précision, mais suffisamment petite pour que votre vecteur puisse être dessiné à l'échelle.
- Par exemple, supposons que vous commenciez avec un vecteur qui représente une vitesse de 200 mph (320 km/h) dans une direction nord-est. Si vous utilisez du papier quadrillé avec 4 carrés par pouce, vous pouvez choisir que chaque carré représente 20 mph (32,2 km/h). Cela représente une échelle de 2,50 cm = 80 mph.
- Le placement du vecteur par rapport à l'origine n'a pas d'importance, il n'est donc pas nécessaire de dessiner un axe x et un axe y. Vous ne mesurez que le vecteur lui-même, pas son emplacement dans un espace à 2 ou 3 dimensions. Le papier millimétré n'est qu'un outil de mesure, donc l'emplacement n'a pas d'importance.
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Dessinez le vecteur à l'échelle. Il est important que vous dessiniez votre vecteur aussi précisément que possible. Vous devez représenter à la fois la direction et la longueur correctes du vecteur dans votre dessin.
- Utilisez une règle précise. Par exemple, si vous avez choisi l'échelle d'un carré sur votre papier millimétré représentant 20 mph (32,2 km/h), et que chaque carré mesure ¹ ⁄ ₄ pouce (0,6 cm), alors un vecteur de 200 mph (320 km/h) sera une ligne de 10 carrés, soit 6 centimètres de long.
- Utilisez un rapporteur, si nécessaire, pour montrer l'angle ou la direction du vecteur. Par exemple, si le vecteur montre un mouvement dans la direction nord-est, tracez une ligne à un angle de 45 degrés par rapport à l'horizontale.
- Les vecteurs peuvent indiquer de nombreux types différents de mesures de direction. Si vous parlez de voyage, cela peut signifier une direction sur la carte. Pour représenter la trajectoire d'un objet projeté ou touché, l'angle du vecteur peut signifier l'angle de déplacement depuis le sol. En physique nucléaire, un vecteur peut indiquer la direction d'un électron.
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Tracez un triangle rectangle, avec le vecteur comme hypoténuse. À l'aide de votre règle, commencez par la queue du vecteur et tracez une ligne horizontale aussi large que nécessaire pour coïncider avec la tête du vecteur. Marquez une pointe de flèche au bout de cette ligne pour indiquer qu'il s'agit également d'un vecteur composant. Tracez ensuite une ligne verticale à partir de ce point jusqu'à la tête du vecteur d'origine. Marquez également une pointe de flèche à ce stade.
- Vous devriez avoir créé un triangle rectangle, composé de 3 vecteurs. Le vecteur d'origine est l'hypoténuse du triangle rectangle. La base du triangle rectangle est un vecteur horizontal et la hauteur du triangle rectangle est un vecteur vertical.
- Il y a 2 exceptions lorsque vous ne pouvez pas construire un triangle rectangle. Cela se produira lorsque le vecteur d'origine est exactement horizontal ou vertical. Pour un vecteur horizontal, la composante verticale est nulle, et pour un vecteur vertical, la composante horizontale est nulle.
La mesure des composantes vectorielles par représentation graphique peut être une méthode rapide et utile pour estimer les composantes vectorielles.
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Étiquetez les deux vecteurs composants. En fonction de ce qui est représenté par votre vecteur d'origine, vous devez étiqueter les deux vecteurs composants que vous venez de dessiner. Par exemple, en utilisant le vecteur qui représente le déplacement dans une direction nord-est, le vecteur horizontal représente «Est» et le vecteur vertical représente «Nord».
- D'autres exemples de composants peuvent être "Haut/Bas" ou "Gauche/Droite".
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Mesurer les vecteurs composants. Vous pouvez déterminer les magnitudes de vos 2 vecteurs composants en utilisant soit le papier millimétré seul, soit une règle. Si vous utilisez une règle, mesurez la longueur de chacun des vecteurs composants et convertissez en utilisant l'échelle que vous avez sélectionnée. Par exemple, une ligne horizontale qui est 1 ^une / ₄ pouces (3,2 cm) de long, en utilisant une échelle de 2,50 cm = 80 mph., Représenterait un composant est du 100 mph (160 km/h).
- Si vous choisissez de vous fier au papier quadrillé plutôt qu'à une règle, vous devrez peut-être estimer un peu. Si votre ligne traverse 3 carrés pleins sur le papier quadrillé et tombe au milieu du 4e carré, vous devrez estimer la fraction de ce dernier carré et multiplier par votre échelle. Par exemple, si 1 carré = 20 mph (32,2 km/h) et que vous estimez qu'un vecteur composant est de 3,5 carrés, alors ce vecteur représente 70 mph.
- Répétez la mesure pour les vecteurs de composants horizontaux et verticaux et étiquetez vos résultats.

Méthode 2 sur 4: calcul des composants avec la trigonométrie

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Construisez un croquis approximatif du vecteur d'origine. En s'appuyant sur des calculs mathématiques, votre graphique n'a pas besoin d'être aussi bien dessiné. Vous n'avez pas besoin de déterminer une échelle de mesure. Il suffit d'esquisser un rayon dans la direction générale de votre vecteur. Étiquetez votre vecteur esquissé avec sa magnitude et l'angle qu'il fait par rapport à l'horizontale.
- Par exemple, considérons une fusée qui est tirée vers le haut à un angle de 60 degrés, à une vitesse de 1500 mètres (5000 pieds) par seconde. Vous esquisseriez un rayon qui pointe en diagonale vers le haut. Étiquetez sa longueur "1500 m/s" et nommez son angle de base "60°".
- Le diagramme ci-dessus indique un vecteur de force de 5 Newtons à un angle de 37° Par rapport à l'horizontale.
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Esquissez et étiquetez les vecteurs composants. Esquissez un rayon horizontal commençant à la base de votre vecteur d'origine, pointant dans la même direction (gauche ou droite) que l'original. Ceci représente la composante horizontale du vecteur d'origine. Esquissez un rayon vertical qui relie la tête de votre vecteur horizontal à la tête de votre vecteur angulaire d'origine. Ceci représente la composante verticale du vecteur d'origine.
- Les composantes horizontales et verticales d'un vecteur représentent une manière théorique et mathématique de diviser une force en 2 parties. Imaginez le jouet pour enfant Etch-a-Sketch, avec les boutons de dessin "Vertical" et "Horizontal" séparés. Si vous avez tracé une ligne en utilisant uniquement le bouton "Vertical" et suivi d'une ligne en utilisant uniquement le bouton "Horizontal", vous vous retrouveriez au même endroit comme si vous aviez tourné les deux boutons ensemble à exactement les mêmes vitesses. Cela illustre comment une force horizontale et verticale peut agir simultanément sur un objet.
Faites attention à faire correspondre la composante horizontale d'un vecteur à la composante horizontale de l'autre, et de même pour les composantes verticales.
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Utilisez la fonction sinus pour calculer la composante verticale. Étant donné que les composants d'un vecteur créent un triangle rectangle, vous pouvez utiliser des calculs trigonométriques pour obtenir des mesures précises des composants. Utilisez l'équation:
- $\sin \theta ={\frac {{\text{vertical}}}{{\text{hypoténuse}}}}$
- Pour l'exemple du missile, vous pouvez calculer la composante verticale en substituant les valeurs que vous connaissez, puis en simplifiant, comme suit:
  - $\sin \theta ={\frac {{\text{vertical}}}{{\text{hypoténuse}}}}$
  - $\sin(60)={\frac {{\text{vertical}}}{1500}}$
  - $1500\sin(60)={\text{vertical}}$
  - $1500*0,866={\texte{vertical}}$
  - $1299$
- Étiquetez votre résultat avec les unités appropriées. Dans ce cas, la composante verticale représente une vitesse ascendante de 1299 mètres (4000 pieds) par seconde.
- Le diagramme ci-dessus montre un autre exemple, calculant les composantes d'une force de 5 Newtons à un angle de 37 degrés. En utilisant la fonction sinus, la force verticale est calculée à 3 Newtons.
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Utilisez la fonction cosinus pour calculer la composante horizontale. De la même manière que vous utilisez le sinus pour calculer la composante verticale, vous pouvez utiliser le cosinus pour trouver l'amplitude de la composante horizontale. Utilisez l'équation:
- $\cos \theta ={\frac {{\text{horizontal}}}{{\text{hypoténuse}}}}$
- Utilisez les détails de l'exemple de missile pour trouver sa composante horizontale comme suit:
  - $\cos \theta ={\frac {{\text{horizontal}}}{{\text{hypoténuse}}}}$
  - $\cos(60)={\frac {{\text{horizontal}}}{1500}}$
  - $1500\cos(60)={\text{horizontal}}$
  - $1500*0,5={\texte{horizontal}}$
  - $750$
- Étiquetez votre résultat avec les unités appropriées. Dans ce cas, la composante horizontale représente une vitesse avant (ou gauche, droite, arrière) de 750 mètres (2000 pieds) par seconde.
- Le diagramme ci-dessus montre un autre exemple, calculant les composantes d'une force de 5 Newtons à un angle de 37 degrés. En utilisant la fonction cosinus, la force horizontale est calculée à 4 Newtons.

Méthode 3 sur 4: utiliser des composants vectoriels pour ajouter des vecteurs

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Comprenez ce que signifie "ajouter" des vecteurs. L'addition est généralement un concept assez simple, mais il prend une signification particulière lorsque l'on travaille avec des vecteurs. Un seul vecteur représente un mouvement, une force ou un autre élément physique agissant sur un objet. S'il y a deux forces ou plus agissant en même temps, vous pouvez "ajouter" ces forces pour trouver la force résultante agissant sur l'objet.
- Par exemple, pensez à une balle de golf qui est frappée en l'air. Une force agissant sur la balle est la force du coup initial, et elle se compose d'un angle et d'une magnitude. Une autre force pourrait être le vent, qui a son propre angle et sa propre amplitude. L'addition de ces 2 forces peut décrire le déplacement résultant de la balle.
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Décomposez chaque vecteur en ses composants. Avant de pouvoir ajouter les vecteurs, vous devez déterminer les composants de chacun. À l'aide de l'un des processus décrits dans cet article, recherchez les composantes horizontales et verticales de chaque force.
- Par exemple, supposons que la balle de golf soit frappée à un angle de 30 degrés vers le haut avec une vitesse de 130 mph (210 km/h). En trigonométrie, les 2 vecteurs composants sont donc:
  - ${\text{vertical}}=130\sin(30)=65{\text{mph}}$
  - ${\text{horizontal}}=130\cos(30)=112,6{\text{mph}}$
- Considérons ensuite le vecteur qui représente la force du vent. Supposons que le vent souffle la balle vers le bas à un angle de 10 degrés, à une vitesse de 10 mph (16,1 km/h). (Nous ignorons les forces gauche et droite pour simplifier le calcul). Les deux composantes du vent peuvent être calculées de la même manière:
  - ${\text{vertical}}=10\sin(-10)=-1,74{\text{mph}}$
  - ${\text{horizontal}}=10\cos(-10)=9,85{\text{mph}}$
  - Notez que nous utilisons un angle de -10 degrés parce que le vent souffle vers le bas, agissant contre la force du coup.
Par exemple, en utilisant le vecteur qui représente le déplacement dans une direction nord-est, le vecteur horizontal représente «Est» et le vecteur vertical représente «Nord».
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Ajoutez les composants. Étant donné que les vecteurs composants sont toujours mesurés à angle droit, vous pouvez les ajouter directement. Faites attention à faire correspondre la composante horizontale d'un vecteur à la composante horizontale de l'autre, et de même pour les composantes verticales.
- Pour cet échantillon, le vecteur vertical résultant est la somme des deux composantes:
  - ${\text{vertical}}=65+(-1,74)=63,26$
  - ${\text{horizontal}}=112,6+9,85=122,45$
- Interprétez le sens de ces résultats. La force nette agissant sur la balle de golf, due à la fois au coup et au vent, est l'équivalent d'une force unique avec des composantes de 63,26 mph (101,81 km/h) verticalement et 122,45 miles par heure horizontalement.
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Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la magnitude du vecteur résultant. En fin de compte, ce que vous voudriez savoir, c'est l'effet net du swing de golf et du vent, agissant ensemble sur la balle. Si vous connaissez les deux composantes, vous pouvez les combiner avec le théorème de Pythagore pour trouver la magnitude du vecteur résultant.
- Rappelons que les vecteurs composants représentent les jambes d'un triangle rectangle. Le vecteur résultant est l'hypoténuse de ce triangle rectangle. En utilisant le théorème de Pythagore, c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} $C^{2}=a^{2}+b^{2}$ , vous pouvez le calculer comme suit:
  - ${\text{resultant}}^{2}=63,26^{2}+122,45^{2}$
  - ${\text{resultant}}^{2}=18995,83$
  - ${\text{resultant}}={\sqrt {18995,83}}$
  - ${\text{resultant}}=137,83$
- Ainsi, le vecteur résultant représente une force unique sur la balle avec une magnitude de 137,83 mph (221,82 km/h). Notez que c'est légèrement plus élevé que la force du coup initial, car le vent pousse la balle vers l'avant en même temps qu'il la pousse vers le bas.
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Utilisez la trigonométrie pour trouver l'angle du vecteur résultant. Connaître la force du vecteur résultant est la moitié de la solution. L'autre moitié consiste à trouver l'angle net du vecteur résultant. Dans cet exemple, étant donné que le swing de golf applique une force ascendante et que le vent applique une force descendante, bien que moindre, vous devez trouver l'angle résultant.
- Esquissez un triangle rectangle et nommez les composants. La base horizontale du triangle représente la composante vectorielle avant de 122,45. La branche verticale représente la composante vectorielle ascendante de 63,26. L'hypoténuse représente le vecteur résultant avec une magnitude de 137,83.
- Vous pouvez choisir soit la fonction sinus, avec la composante verticale, soit la fonction cosinus, avec la composante horizontale, pour trouver l'angle. Le résultat sera le même.
  - $\sin \theta ={\frac {63,26}{137,83}}$
  - $\sin \theta =0,459$
  - $\theta =\arcsin(0,459)$
  - $\thêta =27,32$
- Ainsi, le vecteur résultant représente une force unique agissant sur la balle à un angle ascendant de 27,32 degrés. Cela a du sens, car il est légèrement inférieur à l'angle de la balançoire, à 30 degrés, en raison de la force descendante du vent. Cependant, le swing de golf est une force beaucoup plus forte que le vent dans cet exemple, donc l'angle est toujours proche de 30.
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Résumez votre vecteur résultant. Pour rapporter le vecteur résultant, donnez à la fois son angle et sa magnitude. Dans l'exemple d'une balle de golf, le vecteur résultant a une magnitude de 137,83 mph (221,82 km/h), à un angle de 27,32 degrés au-dessus de l'horizontale.

Quels sont les composants minimum que nous pouvons utiliser pour résoudre un vecteur en ses composants?

Méthode 4 sur 4: examen des vecteurs et de leurs composants

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Rappelons la définition d'un vecteur. Un vecteur est un outil mathématique utilisé en physique pour représenter la façon dont les forces agissent sur un objet. On dit qu'un vecteur représente deux éléments de la force, sa direction et son amplitude.
- Par exemple, vous pouvez décrire le mouvement d'un objet en mouvement en donnant la direction de son déplacement et sa vitesse. On pourrait dire qu'un avion se déplace dans une direction nord-ouest à 500 mph (800 km/h). Le nord-ouest est la direction et 500 mph (800 km/h) est la magnitude.
- Un chien tenu en laisse subit une force vectorielle. La laisse tenue par le propriétaire est tirée en diagonale vers le haut avec une certaine force. L'angle de la diagonale est la direction du vecteur, et la force de la force est la magnitude.
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Comprendre la terminologie des vecteurs graphiques. Lorsque vous dessinez un vecteur, que ce soit en utilisant une représentation dessinée avec précision sur du papier millimétré ou simplement une esquisse approximative, certains termes géométriques sont utilisés.
- Un vecteur est représenté graphiquement par un ${\text{ray}}$ . Un rayon, en géométrie, est un segment de droite qui commence en un point et, théoriquement, continue à l'infini dans une direction. Un rayon est tracé en marquant un point, puis un segment de ligne de longueur appropriée, et en marquant une pointe de flèche à l'extrémité opposée du segment de ligne.
- La ${\text{queue}}$ d'un vecteur est son point de départ. Géométriquement, c'est l'extrémité du rayon.
- La ${\text{head}}$ d'un vecteur est la position de la pointe de la flèche. La différence entre un rayon géométrique et un vecteur est que la pointe de flèche du rayon représente un trajet théorique d'une distance infinie dans la direction donnée. Un vecteur, cependant, utilise la pointe de la flèche pour indiquer la direction, mais la longueur du vecteur se termine à la pointe du segment de ligne, pour mesurer sa magnitude. En d'autres termes, si vous esquissez un rayon en géométrie, la longueur n'a pas d'importance. Si vous dessinez un vecteur, cependant, la longueur est très importante.
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Rappelez-vous un peu de trigonométrie de base. Les éléments constitutifs d'un vecteur reposent sur la trigonométrie des triangles rectangles. Tout segment de ligne diagonale peut devenir l'hypoténuse d'un triangle rectangle en esquissant une ligne horizontale à partir d'une extrémité et une ligne verticale à partir de l'autre extrémité. Lorsque ces deux lignes se rencontrent, vous aurez défini un triangle rectangle.
- L'angle de référence est l'angle qui est fait en mesurant de la base horizontale du triangle rectangle à l'hypoténuse.
- Le sinus de l'angle de référence peut être déterminé en divisant la longueur de la jambe opposée par la longueur de l'hypoténuse.
- Le cosinus de l'angle de référence peut être déterminé en divisant la longueur de la base du triangle (ou de la jambe adjacente) par la longueur de l'hypoténuse.

Mises en garde

La mesure des composantes vectorielles par représentation graphique peut être une méthode rapide et utile pour estimer les composantes vectorielles. Cependant, ce n'est pas une méthode très précise, à moins que vous ne soyez extrêmement doué pour les graphiques et les mesures. Si vous voulez des chiffres rapides et ronds, cela devrait fonctionner correctement. Pour des résultats plus précis, fiez-vous aux mathématiques des calculs trigonométriques.

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