Comment montrer que Phi est quadratique?
Il s'agit d'une équation quadratique, ce qui signifie que phi est un nombre quadratique.
Le nombre d'or, représenté par la lettre grecque phi ( ϕ{\displaystyle \phi } ), a une longue histoire à la fois dans l'art et les mathématiques qui remonte à l'Égypte ancienne. En raison de sa relation intrinsèque avec la séquence de Fibonacci, il apparaît également dans la nature; la façon dont les graines tournent en spirale dans une tête de tournesol ou les feuilles poussent autour d'une tige de plante sont toutes liées à phi - le rapport divin. Ce guide vous montre comment prouver algébriquement que ce nombre ϕ{\displaystyle \phi } est quadratique.
- 1Considérez ce que signifie être «quadratique». En mathématiques, un nombre est quadratique lorsqu'il est la solution d'une équation quadratique avec des coefficients rationnels. En d'autres termes, un nombre x{\displaystyle x} est quadratique s'il satisfait une équation de la forme ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , avec a{\displaystyle a} , b{\displaystyle b} et c{\displaystyle c} étant des nombres rationnels, et a{\displaystyle a} n'étant pas égal à zéro.
- Si a{\displaystyle a} était égal à zéro, l'équation serait 0x2+bx+c=0{\displaystyle 0x^{2}+bx+c=0} , ce qui se réduit à bx+c=0{\displaystyle bx+c=0} . Ce n'est plus une équation quadratique, car elle n'a pas de terme x2{\displaystyle x^{2}}
- 2Considérez comment phi est défini. Dans son livre Éléments, Euclide a défini le ratio d' or comme suit:
«Une ligne droite est dit avoir été coupé dans l' extrême et le ratio moyen quand, toute la ligne est au segment plus, est donc plus au moins.»
Le "rapport extrême et moyen" se réfère ici au nombre d'or. Si la ligne est coupée en un morceau plus grand a{\displaystyle a} et un morceau plus petit b{\displaystyle b} , alors le rapport de a{\displaystyle a} à b{\displaystyle b} est égal à phi si ab=a+ba{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}} . - 3Réorganisez un peu cette définition de phi. ab=a+ba=aa+ba=1+ba{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}} +{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}}
- 4Remplacez ab=ϕ{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi } par ab=1+ba{\displaystyle {\frac {a}{b}}=1+{\frac {b}{ a}}} . Cela donne ϕ=1+1ϕ{\displaystyle \phi =1+{\frac {1}{\phi }}} .
En mathématiques, un nombre est quadratique lorsqu'il est la solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels. - 5Débarrassez-vous de phi dans le dénominateur sur le côté droit en multipliant l'équation entière par phi. ϕ2=ϕ+1{\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1} .
- 6Ramenez tout du côté gauche de l'équation. ϕ2−ϕ−1=0{\displaystyle \phi ^{2}-\phi -1=0} . Il s'agit d'une équation quadratique, ce qui signifie que phi est un nombre quadratique.
- 7Résoudre pour phi. En utilisant la formule quadratique, vous pouvez calculer que phi est égal à 1±52{\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}} . 1+52=1 61803398875{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1 61803398875} et 1−52=−0,61803398875{\displaystyle {\frac { 1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0,61803398875} . Le problème qui reste maintenant est que nous avons obtenu deux valeurs possibles pour phi. Ceci est naturel, car les équations quadratiques ont toujours deux solutions. Cependant, si vous regardez comment Euclide a défini phi, il devient clair que la solution positive est la valeur de phi. En effet, Euclide a défini phi comme le rapport des longueurs des segments de droite, et puisque les longueurs sont toujours positives, le rapport et donc phi seront également positifs.
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