Comment trouver la somme d'une suite arithmétique?

Si la troisième suite arithmétique est -12 et la septième suite arithmétique est 8, quelle est la somme du premier 10e terme?

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme augmente d'une quantité constante. Pour additionner les nombres dans une séquence arithmétique, vous pouvez additionner manuellement tous les nombres. Ceci n'est cependant pas pratique lorsque la séquence contient une grande quantité de nombres. Au lieu de cela, vous pouvez trouver rapidement la somme de n'importe quelle séquence arithmétique en multipliant la moyenne du premier et du dernier terme par le nombre de termes de la séquence.

Partie 1 sur 3: évaluer votre séquence

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Assurez-vous d'avoir une suite arithmétique. Une suite arithmétique est une série ordonnée de nombres, dans laquelle la variation des nombres est constante. Cette méthode ne fonctionne que si votre ensemble de nombres est une séquence arithmétique.
- Pour déterminer si vous avez une suite arithmétique, trouvez la différence entre les premiers et les derniers nombres. Assurez-vous que la différence est toujours la même.
- Par exemple, la série 10, 15, 20, 25, 30 est une suite arithmétique, car la différence entre chaque terme est constante (5).
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Identifiez le nombre de termes dans votre séquence. Chaque nombre est un terme. S'il n'y a que quelques termes répertoriés, vous pouvez les compter. Sinon, si vous connaissez le premier terme, le dernier terme et la différence commune (la différence entre chaque terme), vous pouvez utiliser une formule pour trouver le nombre de termes. Soit ce nombre représenté par la variable n{\displaystyle n} $N$ .
- Par exemple, si vous calculez la somme de la séquence 10, 15, 20, 25, 30, $N=5$ , puisqu'il y a 5 termes dans la séquence.
Pour trouver la somme d'une séquence arithmétique, commencez par identifier le premier et le dernier nombre de la séquence.
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Identifiez le premier et le dernier termes de la séquence. Vous devez connaître ces deux nombres pour calculer la somme de la suite arithmétique. Souvent, les premiers nombres seront 1, mais pas toujours. Soit la variable a1{\displaystyle a_{1}} $A_{{1}}$ égale au premier terme de la séquence et an{\displaystyle a_{n}} $Un}}$ égale au dernier terme de la séquence.
- Par exemple, dans la séquence 10, 15, 20, 25, 30 $A_{{1}}=10$ et $A_{{n}}=30$ .

Partie 2 sur 3: calculer la somme

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Établissez la formule pour trouver la somme d'une suite arithmétique. La formule est Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})} $S_{{n}}=n({\frac {a_{{1}}+a_{{n}}}{2}})$ , où Sn{\displaystyle S_{n }} $S_{{n}}$ est égal à la somme de la séquence.
- Notez que cette formule indique que la somme de la séquence arithmétique est égale à la moyenne du premier et du dernier terme, multipliée par le nombre de termes.
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Insérez les valeurs de n{\displaystyle n} $m$ , a1{\displaystyle a_{1}} $un_{{1}}$ et an{\displaystyle a_{n}} $un}}$ dans la formule. Assurez-vous de faire les bonnes substitutions.
- Par exemple, si vous avez 5 termes dans votre séquence, et 10 est le premier terme et 30 est le dernier terme, votre formule ressemblera à ceci: $S_{{n}}=5({\frac {10+30}{2}})$ .
Au lieu de cela, vous pouvez trouver rapidement la somme de n'importe quelle séquence arithmétique en multipliant la moyenne du premier et du dernier terme par le nombre de termes de la séquence.
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Calculer la moyenne du premier et du deuxième terme. Pour ce faire, additionnez les deux nombres et divisez par 2.
- Par exemple:
  $S_{{n}}=5({\frac {40}{2}})$
  $S_{{n}}=5(20)$
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Multipliez la moyenne par le nombre de termes de la série. Cela vous donnera la somme de la suite arithmétique.
- Par exemple:
  $S_{{n}}=5(20)$
  $S_{{n}}=100$
  Donc, la somme de la séquence 10, 15, 20, 25, 30 vaut 100.

Partie 3 sur 3: résoudre des exemples de problèmes

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Trouvez la somme des nombres entre 1 et 500. Considérez tous les entiers consécutifs.
- Déterminez le nombre de termes ( $N$ ) dans la séquence. Puisque vous considérez tous les entiers consécutifs jusqu'à 500, $N=500$ .
- Déterminez le premier ( $A_{{1}}$ ) et le dernier ( $Un}}$ ) de la séquence. Comme la séquence va de 1 à 500, $A_{{1}}=1$ et $A_{{n}}=500$ .
- Trouver la moyenne de $A_{{1}}$ et d' $Un}}$ : $1+5002=250,5{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250,5 }$ .
- Multipliez la moyenne par $N$ : $250,5\fois 500=125250$ .
Notez que cette formule indique que la somme de la séquence arithmétique est égale à la moyenne du premier et du dernier terme, multipliée par le nombre de termes.
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Trouvez la somme de la suite arithmétique décrite. Le premier terme de la séquence est 3. Le dernier terme de la séquence est 24. La différence commune est 7.
- Déterminez le nombre de termes ( $N$ ) dans la séquence. Puisque vous commencez par 3, terminez par 24 et montez de 7 à chaque fois, la série est 3, 10, 17, 24. (La différence commune est la différence entre chaque terme de la séquence.) Cela signifie que $N=4$
- Déterminez le premier ( $A_{{1}}$ ) et le dernier ( $Un}}$ ) de la séquence. Comme la séquence va de 3 à 24, $A_{{1}}=3$ et $A_{{n}}=24$ .
- Trouver la moyenne de $A_{{1}}$ et d' $Un}}$ : ${\frac {3+24}{2}}=13,5$ .
- Multipliez la moyenne par $N$ : $13,5\fois 4=54$ .
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Résoudre le problème suivant. Mara économise 5 dollars la première semaine de l'année. Le reste de l'année, elle augmente son épargne hebdomadaire de 5 dollars par semaine. Combien d'argent Mara économise-t-elle d'ici la fin de l'année?
- Déterminez le nombre de termes ( $N$ ) dans la séquence. Depuis que Mara a économisé pendant 52 semaines (1 an), $N=52$ .
- Déterminez le premier ( $A_{{1}}$ ) et le dernier ( $Un}}$ ) de la séquence. Le premier montant qu'elle économise est de 5 dollars, donc $A_{{1}}=5$ . Pour connaître le montant qu'elle économise la dernière semaine de l'année, calculez $5\fois 52=260$ . Donc $A_{{n}}=260$ .
- Trouvez la moyenne de $A_{{1}}$ et d' $Un}}$ : ${\frac {5+260}{2}}=132,5$ .
- Multipliez la moyenne par $N$ : $132,5\times 52=6890$ . Elle économise ainsi 5140€ d'ici la fin de l'année.