Comment calculer le produit vectoriel de deux vecteurs?
L'un des moyens les plus simples de calculer un produit vectoriel est de configurer les vecteurs unitaires avec les deux vecteurs dans une matrice.
Le produit vectoriel est un type de multiplication vectorielle définie uniquement en trois et sept dimensions qui génère un autre vecteur. Cette opération, utilisée presque exclusivement en trois dimensions, est utile pour des applications en physique et en ingénierie. Dans cet article, nous allons calculer le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels définis en coordonnées cartésiennes.
Méthode 1 sur 2: calcul du produit vectoriel
- 1Considérons deux vecteurs tridimensionnels généraux définis en coordonnées cartésiennes.
- a=Ai+Bj+Ckb=Di+Ej+Fk{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=A\mathbf {i} +B\mathbf {j} +C\mathbf {k} \ \\mathbf {b} &=D\mathbf {i} +E\mathbf {j} +F\mathbf {k} \end{aligné}}}
- Ici, i,j,k{\displaystyle \mathbf {i},\mathbf {j},\mathbf {k} } sont des vecteurs unitaires, et A,B,C,D,E,F{\displaystyle A,B,C,D,E,F} sont des constantes.
- 2Mettre en place la matrice. L'un des moyens les plus simples de calculer un produit vectoriel est de configurer les vecteurs unitaires avec les deux vecteurs dans une matrice.
- a×b=|ijkABCDEF|{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A&B&C\ \D&E&F\end{vmatrix}}}
- 3Calculer le déterminant de la matrice. Ci-dessous, nous utilisons l'expansion de cofacteur (expansion par des mineurs).
- a×b=(BF−EC)i−(AF−DC)j+(AE−DB)k{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(BF-EC)\mathbf {i} - (AF-DC)\mathbf {j} +(AE-DB)\mathbf {k} }
- Ce vecteur est orthogonal à la fois à a{\displaystyle \mathbf {a} } et à b.{\displaystyle \mathbf {b}.}
Méthode 2 sur 2: exemple
- 1Considérez les deux vecteurs ci-dessous.
- u=2i−j+3kv=5i+7j−4k{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=2\mathbf {i} -\mathbf {j} +3\mathbf {k} \\ \mathbf {v} &=5\mathbf {i} +7\mathbf {j} -4\mathbf {k} \end{aligné}}}
- 2Mettre en place la matrice.
- u×v=|ijk2−1357−4|{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&-1&3\\5&7&-4\end{vmatrix}}}
- 3Calculer le déterminant de la matrice.
- u×v=(4−21)i−(−8−15)j+(14+5)k=−17i+23j+19k{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf { v} &=(4-21)\mathbf {i} -(-8-15)\mathbf {j} +(14+5)\mathbf {k} \\&=-17\mathbf {i} +23 \mathbf {j} +19\mathbf {k} \end{aligné}}}
Dans cet article, nous allons calculer le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels définis en coordonnées cartésiennes.
- Le produit vectoriel d'un vecteur avec n'importe quel multiple de lui-même est 0. Ceci est plus facile à montrer lors de la configuration de la matrice. Les deuxième et troisième lignes sont linéairement dépendantes, puisque vous pouvez écrire l'une comme un multiple de l'autre. Alors, le déterminant de la matrice et donc le produit vectoriel est 0.
- On peut montrer que le vecteur produit par un produit croisé de deux vecteurs a×b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } est orthogonal à a{\displaystyle \mathbf {a} } et b. {\displaystyle \mathbf {b}.} Pour ce faire, calculez les produits scalaires. Ces produits sont appelés produits triples - puisque l'opération à l'extérieur est un produit scalaire, ce sont les produits triples scalaires.
- a⋅(a×b)b⋅(a×b){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b})\\\mathbf { b} &\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b})\end{aligné}}}
- Ces produits triples suivent ce qu'on appelle la permutation cyclique - c'est-à-dire que si vous échangez les positions des vecteurs sans les réorganiser, les expressions sont équivalentes. Ensuite, nous pouvons les réécrire de telle sorte qu'un vecteur se croise avec lui-même.
- a⋅(b×b)b⋅(a×a){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &\cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b})\\\mathbf { b} &\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a})\end{aligned}}}
- Cependant, nous savons que le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est 0. Étant donné qu'un produit scalaire des deux vecteurs finit également par être 0, ils sont orthogonaux.
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Questions et réponses
- Quel est l'analogue vectoriel de la distance?La norme, parfois aussi appelée magnitude, généralise la distance aux vecteurs. La norme est indiquée par des barres verticales comme des valeurs absolues. Par exemple, |(3,-4)| = 5, et |(11,11)| = 2.
- Comment calculer le triple produit vectoriel?Étant donné les vecteurs u, v et w, le produit triple scalaire est u*(vXw). Donc, par ordre d'opérations, trouvez d'abord le produit vectoriel de v et w. Configurez un déterminant 3X3 avec les vecteurs de coordonnées unitaires (i, j, k) dans la première ligne, v dans la deuxième ligne et w dans la troisième ligne. Évaluez le déterminant (vous obtiendrez un vecteur à 3 dimensions). Ensuite, pointez-le avec u (pour obtenir un scalaire). Les produits internes sont abéliens, donc u*(vXw)=(vXw)*u. Fait intéressant, la valeur absolue de la TSP donne le volume d'un parallélépipède à 3 arêtes donné par les vecteurs u, v et w.
