Comment transposer une matrice?
Pour transposer une matrice, commencez par transformer la première ligne de la matrice en première colonne de sa transposition. Répétez cette étape pour les lignes restantes, de sorte que la deuxième ligne de la matrice d'origine devienne la deuxième colonne de sa transposition, et ainsi de suite. Cette transposition est la même pour une matrice carrée que pour une matrice non carrée. Enfin, exprimez la transposition mathématiquement, donc si la matrice B est une matrice mxn, où m sont des lignes et n sont des colonnes, la matrice transposée est nxm, avec n des lignes et m des colonnes. Pour apprendre à retourner des matrices carrées sur la diagonale principale, continuez à lire!
Aucun jargon n'est requis au-delà de la notation matricielle de base: Si la matrice B est une matrice mxn (m lignes et n colonnes), la matrice transposée BT est une matrice nxm (n lignes et m colonnes).
Les transpositions matricielles sont un outil pratique pour comprendre la structure des matrices. Les fonctionnalités que vous connaissez peut-être déjà sur les matrices, telles que l'équerrage et la symétrie, affectent les résultats de la transposition de manière évidente. La transposition sert également à exprimer des vecteurs sous forme de matrices ou à prendre les produits de vecteurs. Si vous avez affaire à des matrices complexes, le concept étroitement lié de transposition conjuguée vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.
Partie 1 sur 3: transposer une matrice
- 1Commencez avec n'importe quelle matrice. Vous pouvez transposer n'importe quelle matrice, quel que soit son nombre de lignes et de colonnes. Les matrices carrées, avec un nombre égal de lignes et de colonnes, sont le plus souvent transposées, nous utiliserons donc une simple matrice carrée comme exemple:
- matrice A =
4 5 6
7 8 9
- matrice A =
- 2Transformez la première ligne de la matrice dans la première colonne de sa transposition. Réécrivez la première ligne de la matrice en colonne:
- transposer la matrice A = A T
- première colonne de A T:
2
3
- 3
- 4Entraînez-vous sur une matrice non carrée. La transposition est exactement la même pour une matrice non carrée. Vous réécrivez la première ligne en tant que première colonne, la deuxième ligne en tant que deuxième colonne, et ainsi de suite. Voici un exemple avec un code couleur pour vous montrer où finissent les éléments:
- matrice Z =
4 7 2 1
3 9 8 6 - matrice Z t =
4 3
7 9
2 8
1 6
- matrice Z =
- 5Exprimez mathématiquement la transposition. Le concept est assez simple, mais c'est bien de pouvoir le décrire en mathématiques. Aucun jargon n'est requis au-delà de la notation matricielle de base:
- Si la matrice B est une matrice m x n (m lignes et n colonnes), la matrice transposée B T est une matrice n x m (n lignes et m colonnes).
- Pour chaque élément b xy (x ème ligne, y ème colonne) dans B, la matrice B T a un élément égal à b yx (y ème ligne, x ème colonne).
Partie 2 sur 3: cas particuliers
- 1(M T )T = M. La transposée d'une transposée est la matrice d'origine. C'est assez intuitif, car tout ce que vous faites est de changer les lignes et les colonnes. Si vous les changez à nouveau, vous revenez à votre point de départ.
- 2Retournez les matrices carrées sur la diagonale principale. Dans une matrice carrée, la transposition «fait basculer» la matrice sur la diagonale principale. En d'autres termes, les éléments sur une ligne diagonale de l'élément a 11 au coin inférieur droit resteront les mêmes. Les autres éléments se déplaceront sur la diagonale et se retrouveront à la même distance de la diagonale, du côté opposé.
- Si vous ne pouvez pas visualiser cela, dessinez une matrice 4x4 sur une feuille de papier. Maintenant, le pli est sur la diagonale principale. Voyez comment les éléments un 14 et un 41 touchent? Ils échangent des places dans la transposition, tout comme les autres paires qui se touchent lorsqu'elles sont pliées.
- 3Transposer une matrice symétrique. Une matrice symétrique est symétrique sur la diagonale principale. Si nous utilisons la description "flip" ou "fold" ci-dessus, nous pouvons immédiatement voir que rien ne change. Toutes les paires d'éléments qui échangent des places étaient déjà identiques. En fait, c'est la façon standard de définir une matrice symétrique. Si la matrice A = A T, alors la matrice A est symétrique.
La matrice avec laquelle vous vous retrouvez est la transposée conjuguée de la matrice d'origine.
Partie 3 sur 3: transposée conjuguée d'une matrice complexe
- 1Commencez avec une matrice complexe. Les matrices complexes ont des éléments avec une composante réelle et imaginaire. Bien que vous puissiez effectuer une transposition ordinaire de ces matrices, la plupart des calculs pratiques impliquent plutôt la transposition conjuguée.
- Matrice C =
2+ i 3-2 i
0+ i 5+0 i
- Matrice C =
- 2Prenez le conjugué complexe. Le conjugué complexe change le signe des composantes imaginaires, sans altérer les composantes réelles. Effectuez cette opération pour tous les éléments de la matrice.
- conjugué complexe de C =
2- i 3+2 i
0- i 5-0 i
- conjugué complexe de C =
- 3Transposer les résultats. Prenez une transposition ordinaire du résultat. La matrice avec laquelle vous vous retrouvez est la transposée conjuguée de la matrice d'origine.
- conjuguer transposé de C = C H =
2- i 0- i
3+2 i 5-0 i
- conjuguer transposé de C = C H =
En matrice transposer toutes les lignes d'une matrice se transformer en colonnes et vice-versa.
- Cet article utilise la notation A T pour signifier la transposition de la matrice A. La notation A' ou à signifie la même chose.
- Cet article se réfère à la transposée conjuguée de la matrice A comme A H, la notation la plus courante en algèbre linéaire. Les physiciens quantiques utilisent souvent † à la place. A* est encore une autre option, mais essayez de l'éviter car certaines sources utiliseront ce symbole pour signifier le conjugué complexe à la place.
Questions et réponses
- Une transposition matricielle implique-t-elle un calcul?Non, car transposer, c'est réécrire le brut sous forme de colonne, en commençant respectivement par le premier brut.
- Comment puis-je transposer la matrice d'identité?En matrice transposer toutes les lignes d'une matrice se transformer en colonnes et vice-versa. C'est ainsi que vous pouvez identifier une transposition matricielle.
- Étant donné que B est une matrice, B1 peut-il être le signe de sa transposée?Bien sûr, c'est un bon moyen de se rappeler comment les deux matrices sont liées. En général, les mathématiciens aiment utiliser B' ou B^T pour nommer la transposition afin de la rendre encore plus facile à suivre.
Les commentaires (2)
- Cela m'a aidé à comprendre à quel point la transposition d'une matrice est facile!
- J'explique plus que je ne le pensais.
