Comment utiliser le calcul pour faire pivoter des courbes autour d'un axe?

Toutes les sections planes d'un solide de révolution qui sont perpendiculaires à son axe sont des disques circulaires ou des régions délimitées par deux cercles concentriques.

Vous apprendrez à faire pivoter une courbe autour de l'axe x ou y en utilisant le calcul et à calculer le volume et la surface, tant que votre compréhension des étapes du calcul est à la hauteur (car il ne s'agit pas tant d'un article sur l'apprentissage du calcul et la dérivation de calculs spécifiques). réponses car c'est un moyen d'apprendre à faire un solide ou une surface en rotation).

La droite fixe est appelée axe du solide de révolution.

Lorsqu'une région plane, située entièrement d'un côté d'une ligne fixe dans son plan, tourne autour de cette ligne, elle génère un solide de révolution. La ligne fixe s'appelle l'axe du solide de révolution. A titre d'illustration, si la région délimitée par un demi-cercle et son diamètre tourne autour de ce diamètre, elle balaie un solide sphérique. Si la région à l'intérieur d'un triangle rectangle est tournée autour d'une de ses jambes, elle génère un solide conique. Lorsqu'un disque circulaire tourne autour d'une ligne dans son plan qui ne coupe pas le disque, il balaie un tore (ou anneau). Toutes les sections planes d'un solide de révolution qui sont perpendiculaires à son axe sont des disques circulaires ou des régions délimitées par deux cercles concentriques. On cherche le volume d'un solide de révolution. Mais il faut d'abord définir ce que l'on entend par «volume» d'un solide de révolution. Tout comme dans toute discussion sur une aire plane dans laquelle on suppose que l'aire d'un rectangle est un produit de sa longueur et de sa largeur,nous commençons l'étude des volumes de solides de révolutions en supposant que le volume d'un cylindre circulaire droit est πr^2h (π=pi, r=rayon, ^2=carré et h=hauteur ou altitude).

Pas

Familiarisez-vous avec le concept de base:

Partie 1 sur 2: le tutoriel: volume d'un solide de révolution

1

Commencez par ouvrir un nouveau classeur dans Excel à partir du bureau, du dock ou de votre dossier d'applications dans le dossier microsoft. Double-cliquez sur Excel (soit le X vert sur le dock ou le titre de l'application dans le dossier) et sélectionnez Fichier Nouveau classeur.
2

Dans les préférences, définissez r1c1 sur non coché ou désactivé, définissez le ruban sur coché ou activé et définissez afficher la barre de formule sur coché ou activé.
3

Cliquez dans le coin supérieur gauche au-dessus du 1 de la ligne 1 et à gauche de la colonne A. Cela sélectionnera toute la feuille de calcul. Formater le nombre de cellules Nombre en décimales 2, afficher une virgule. Centre d'alignement des cellules de format. # Intitulez la première feuille de calcul, «Fonction de rotation f(x)» et enregistrez le classeur sous le nom «Rotation des courbes sur un axe» dans un dossier approprié tel que «Images Microsoft Excel» ou «Articles de guide».
4
Entrez dans la cellule a1 le texte suivant, puis définissez l'alignement des cellules de format pour envelopper le texte:
- Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé [a,b], avec f(x) ≥ 0 pour a ≤ x ≤ b. Vous voulez définir le volume du solide de révolution généré en tournant autour de l'axe des x la région R qui est délimitée par la courbe y = f(x), l'axe des x et les lignes verticales x = a et x = b. Soit f(x) = sqrt(x) et a = 1 et b = 4.
- Subdivisez l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles par une partition P, et choisissez n points w _i, un dans chaque sous-intervalle. Tracez n rectangles approximatifs de base [x _i-1,x _i] et d'altitude f(w _i), i = 1, 2, 3,..., n; un typique de ces rectangles est montré dans le diagramme comme Rect HGFE.
- Faites pivoter la région R autour de l'axe des x pour générer un solide de révolution, en utilisant les n rectangles pour balayer n cylindres circulaires droits. Les cylindres balayés par le rectangle typique, par ex. Rect HGFE, est illustré dans le schéma suivant; puisque le rayon de sa base est f(w _i) et son altitude est ∆x _i, son volume est ∆V _i = π*[f(w _i)]^2 *∆x _i.
- Notez que si vous souhaitez créer une forme de type rondelle, la formule devient π * ∫ ^b_a [f(x)^2 = g(x)^2]*dx - c'est donc une intégrale définie de la différence de les carrés de la fonction externe, f(x), et de la fonction interne (trou), g(x).
- Notez également que vous pouvez laisser f être une fonction continue sur [ab] et si la région délimitée par y = f(x), l'axe des x et les lignes x = a et x = b se trouvent dans le premier quadrant, le le volume du solide de révolution généré en faisant tourner cette région autour de l'axe des y est V = 2π * ∫ ^b_a x*f(x)*dx, une autre intégrale définie.

Mais il faut d'abord définir ce que l'on entend par «volume» d'un solide de révolution.

Partie 2 sur 2: le tutoriel: aire d'une surface de révolution

1
Considérons une fonction f qui est continue sur l'intervalle [a,b], avec f(x) ⊵ 0 pour a ⊴ x ⊴ b, et dont la dérivée première f' est également continue sur [a,b]. Si l'arc de la courbe y = f(x), du point (a, f(a)) au point (b, f(b)) tourne autour de l'axe x, une surface de révolution S est balayée en dehors.
- Trouvez l'aire de la surface de révolution en divisant d'abord [a,b] en n intervalles [x _i-1, x _i], i = 1, 2, 3,..., n.
- Soit Q _i le point de la courbe dont les coordonnées sont (x _i,f(x _i)), et notons le point (a, f(a)) par Q ₀.
- Laissez ensuite la ligne brisée formée par les n cordes Q _i-1 Q _i de la courbe tourner autour de l'axe des x; il balaie une surface qui se rapproche de S, et cette approximation s'améliore comme la norme |P| de la partition diminue.
- Considérons que l'aire latérale d'un tronc de cône, ayant la hauteur d'inclinaison s et le rayon de ses bases r1 et r2, est π*(r1 + r2)*s. Ainsi chaque corde Q _i-1 Q _i, en s'articulant autour de l'axe des x, balaie la surface latérale d'un tronc de cône dont l'aire est π*[f(x _i-1) + f(x _i)] *|Q _i-1 *Q _i |.
- Considérez qu'en raison de la formule de la distance de l'arc (voir l'article Longueur d'arc approximative en utilisant la formule de distance), cela peut être réécrit et défini comme suit:
  - Soient f et f' continues sur [a,b] avec f(x) 0 pour a ⩽ x ⩽ b. L'aire de la surface de révolution balayée en faisant pivoter autour de l'axe des x le segment de la courbe y = f(x), du point (a, f(a)) au point (b, f(b)) est: 2π * ∫ ^b_a f(x)*sqrt(1+f'(x)^2)*dx.
  - Exemple: Trouvez l'aire de la surface de révolution générée en faisant tourner autour de l'axe des x le segment de la courbe y = sqrt(x) de (11) à (42).
  - Solution: En substituant f(x) = sqrt(x) et f '(x) = 1/(2*sqrt(x)) dans la formule ci-dessus, vous obtenez: 2π * ∫ ⁴₁ x^ 0,5 * sqrt (1+(1/(2*sqrt(x)))^2)*dx =
  - π * ∫ ⁴₁ sqrt(4x +1) dx (en divisant par sqrt(4) =
  - /4 * ∫ ⁴₁ (4x +1)^ 0,5 * d(4x +1) =
  - π/4 * [(4x +1)^(1,5)]/(1,5) ⁴₁ (par intégration) =
  - /4 * 0,67 * (17^1,5 - 5^1,5) = π/6 * (17^1,5 - 5^1,5) = 30,8465 √

Conseils

Si vous souhaitez un ou deux autres exemples, s'il vous plaît écrivez-moi; vous trouverez l'éditeur original de cet article dans sa page d'historique, et à partir de là, comment le contact par courrier électronique est établi.
Pour effectuer une rotation autour de l'axe des y, remplacez simplement les y par les x et vice versa partout dans la ou les équations.
Règles d'intégration:
- "L'intégration,, peut être utilisée pour trouver des aires, des volumes, des points centraux et de nombreuses choses utiles. Elle est souvent utilisée pour trouver l'aire sous le graphique d'une fonction. L'intégrale de nombreuses fonctions est bien connue et il existe des règles utiles pour travailler sur l'intégrale de fonctions plus compliquées, dont beaucoup sont montrées ici.
- Vous trouverez ci-dessous des exemples pour vous aider.
- Fonctions communes...... Fonction...... Intégrale
- Constante...................... ∫a dx................. ax + C, où C est certains Constant;
- Variable......................... ∫x dx................. x1 + C
- Carré......................... ∫x^2 dx.............. x^1 + C... ou (x^(n+1))/(n+1)
- Racine........................... ∫x^ 0,5 dx............ x ^1,5/(1,5) + C... ou (x^(n+1))/(n+1)
- Réciproque.................... ∫(1/x) dx............. ln|x| + C
- Exponentielle.................. ∫e^x dx.............. e^x + C
- ..................................... a^x dx.............. a^x/ln(a) + C où ln = logarithme naturel
- Log naturel................... ∫ln(x) dx x.......... ln(x) − x + C
- Trigonométrie (x en radians):
- ..................................... cos(x) dx.......... sin(x) + C
- .................................... ∫sin(x) dx........... -cos(x) + C
- .....................................∫sec^2(x)dx........ bronzage(x) + C
- Règles:................................. Fonction..... Intégrale
- Multiplication par une constante..... cf(x) dx........ c ∫f(x) dx
- Règle de puissance (n≠-1)................. ∫x^n dx........ x^(n+1)/(n +1) + C
- Règle de somme.............................. ∫(f + g) dx...... ∫f dx + ∫ g dx
- Règle de différence............... ∫(f - g) dx....... ∫f dx - ∫g dx" ¹
Règles dérivées
"La Dérivée nous indique la pente d'une fonction en tout point. Les dérivées de nombreuses fonctions sont bien connues. Voici quelques règles utiles pour vous aider à calculer les dérivées de fonctions plus compliquées (avec des exemples ci-dessous). Remarque: la petite marque ' signifie "Dérivé de".
- Fonctions communes.................. Fonction............. Dérivée
- Constante.................................................. c............................ 0
- ......................................................................... x................................ 1
- Carré..............................................x^2......................... 0,2x..... ou nx^(n-1)
- Racine carrée.................................... √x......................... (0,5)x- 0,5
- Exponentielle...................................... e^x.........................e^x
- .......................................................................... a^x......................... a^x *(ln a)
- Logarithmes...........................................ln(x)........................ 1 fois
- .......................................................................... log a(x)................... 1 / (x ln(a))
- Trigonométrie (x est en radians).......... sin(x)...................... cos(x)
- ........................................................................... cos(x)..................... −sin(x)
- ........................................................................... bronzage(x).....................sec^2(x)
- ........................................................................... sin^-1(x)................ 1/√(1−x2)
- ........................................................................... beige^-1(x)................ 1/(1+x^2)
- Règles................................................ Fonction............. Dérivé
- Multiplication par constante....................... cf.................................... cf'
- Règle de puissance............................................. x^n........................n*x^(n−1)
- Règle de somme................................................. f + g....................... f' + g'
- Règle de différence....................................... f - g.......................f' − g'
- Règle de produit............................................... f*g.......................... f*g' + f'*g
- Règle du quotient.......................................... f/g.......................... (f'*g − g'*f)/g^2
- Règle de réciprocité........................................ 1/f.......................... −f'/f^2
- Règle de la chaîne
- (en tant que "Composition de Fonctions")............... f ° g.................................. (f'°g) * g'
- Règle de la chaîne (sous une forme différente)................ f(g(x))...................... f'(g(x))*g'(x)
- "La dérivée de" s'écrit aussi d/dx
- Exemple: quelle est la dérivée de sin(x)? Dans le tableau ci-dessus, il est répertorié comme étant cos(x). Il peut être écrit comme: d/dx sin(x) = cos(x) ou comme sin(x)' = cos(x)." ²
Dans Excel, le nombre e est obtenu par la formule =EXP(1) et il existe également une fonction logarithme naturel, LN(n), où n est un nombre pour lequel le logarithme naturel est recherché.

Trouver l'aire de la surface de révolution en divisant d'abord [a,b] en n intervalles [xi-1, xi], i = 1, 2, 3,.

Conseils utiles

Utilisez des articles d'aide lorsque vous suivez ce didacticiel:
- Voir l'article Comment créer un chemin de particules de spin en spirale ou une forme de collier ou une bordure sphérique pour une liste d'articles liés à Excel, à l'art géométrique et/ou trigonométrique, aux graphiques/diagrammes et à la formulation algébrique.
- Pour plus de tableaux et de graphiques artistiques, vous pouvez également cliquer sur Catégorie: images Microsoft Excel, Catégorie: mathématiques, Catégorie: feuilles de calcul ou Catégorie: graphiques pour afficher de nombreuses feuilles de calcul et graphiques Excel où la trigonométrie, la géométrie et le calcul ont été transformés en art, ou cliquez simplement sur la catégorie telle qu'elle apparaît dans la partie blanche en haut à droite de cette page, ou en bas à gauche de la page.

Lisez aussi: Comment utiliser Photoshop pour retoucher les photos du visage?