Comment résoudre l'oscillateur harmonique classique?

Dans un système décrivant un oscillateur harmonique amorti, il existe une force supplémentaire dépendante de la vitesse dont la direction est opposée à celle du mouvement.

En physique, l'oscillateur harmonique est un système qui subit une force de rappel proportionnelle au déplacement par rapport à l'équilibre $F=-kx.$ Les oscillateurs harmoniques sont omniprésents en physique et en ingénierie, et donc l'analyse d'un simple système oscillant tel qu'une masse sur un ressort donne un aperçu du mouvement harmonique dans des systèmes plus compliqués et non intuitifs, tels que ceux rencontrés en mécanique quantique et en électrodynamique.

Dans cet article, nous traitons de deux cas de mouvement harmonique classique: l'oscillateur harmonique simple, où la seule force présente est la force de rappel; et l'oscillateur harmonique amorti, où une force de friction dépendante de la vitesse est également présente. Il est recommandé que vous examinez les méthodes sur la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants homogènes avant de poursuivre.

Partie 1 sur 2: oscillateur harmonique simple

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Trouvez l'équation du mouvement d'un objet attaché à un ressort hookéen. Cet objet repose sur un sol sans frottement, et le ressort suit la loi de Hooke F=−kx.{\displaystyle F=-kx.} $F=-kx.$
- La deuxième loi de Newton dit que l'amplitude d'une force est proportionnelle à l'accélération de l'objet $F=ma.$ Lorsque le ressort est tiré vers un état excité, c'est-à-dire hors d'équilibre, l'objet subit une force de rappel qui tend à le ramener à l'équilibre. Au moment où le ressort atteint son point d'équilibre, cependant, l'objet se déplace à sa plus grande vitesse. Le ressort subit donc un mouvement oscillatoire, et parce que nous supposons que le sol est sans frottement (pas d'amortissement), il présente un mouvement harmonique simple.
- La loi de Newton ne relie qu'indirectement la position d'un objet à la force agissant sur lui par une dérivée seconde, car $A={\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}x}{{\mathrm {d}}t^{{2}}}}.$
- Lorsqu'ils traitent des dérivées temporelles, les physiciens utilisent souvent la notation de Newton pour les dérivées, où le nombre de points correspond au nombre de dérivées temporelles. Par exemple, $A={\ddot x}.$
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Mettre en place l'équation différentielle pour le mouvement harmonique simple. L'équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Dans notre système, les forces agissant perpendiculairement à la direction du mouvement de l'objet (le poids de l'objet et la force normale correspondante) s'annulent. Par conséquent, la seule force agissant sur l'objet lorsque le ressort est excité est la force de rappel. Cela signifie que nous assimilons les deux pour obtenir $F=ma=-kx.$

Par conséquent, la solution générale de l'équation différentielle de l'oscillation harmonique amortie est la suivante, où nous factorisons a.
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Réécrivez l'accélération en termes de position et réorganisez les termes pour définir l'équation sur 0.
- $M{\ddot x}+kx=0$
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Résoudre l'équation du mouvement.
- Mettre en place l'équation caractéristique.
  - $Monsieur^{{2}}+k=0$
- Trouver les racines de l'équation caractéristique.
  - $R=\pm {\sqrt {{\frac {k}{m}}}}i$
- Alors, la solution de l'équation différentielle est la suivante.
  - $X(t)=c_{{1}}\cos \left({\sqrt {{\frac {k}{m}}}}\,t\right)+c_{{2}}\sin \left({\sqrt {{\frac {k}{m}}}}\,t\right)$
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Simplifier. Bien que l'expression ci-dessus soit vraie, elle est un peu volumineuse lorsque la solution est écrite en termes de deux fonctions trigonométriques.
- Tout d'abord, nous reconnaissons que la racine carrée est la fréquence angulaire du système, nous pouvons donc étiqueter ω0{\displaystyle \omega _{0}} $\omega _{{0}}$ ainsi.
  - $\omega _{{0}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}}}$
- Cela signifie que l'équation différentielle peut être réécrite en termes de fréquence angulaire.
  - ${\ddot x}+\omega _{{0}}^{{2}}x=0$
- Ci-dessous, A{\displaystyle A} $UNE$ est l'amplitude d'oscillation, et ϕ{\displaystyle \phi } $\phi$ est le facteur de phase, tous deux dépendants des conditions initiales. Voir cet article pour plus de détails sur la façon de réécrire la solution en termes de facteur de phase.
  - $X(t)=a\cos(\omega _{{0}}t+\phi)$

Partie 2 sur 2: oscillateur harmonique amorti

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Incorporer une force de friction dépendante de la vitesse. Dans un système décrivant un oscillateur harmonique amorti, il existe une force supplémentaire dépendante de la vitesse dont la direction est opposée à celle du mouvement. Cette force peut être écrite sous la forme $F=-bv,$ où $B$ est une constante déterminée expérimentalement. Avec cette force supplémentaire, l'analyse de force donne $Ma=-kx-bv.$

A partir des résultats précédents, nous pouvons donc écrire l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti comme suit, où est l'amplitude initiale et est le facteur de phase, tous deux dépendants des conditions initiales.
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Réécrivez l'accélération et la vitesse en termes de position et réorganisez les termes pour définir l'équation sur 0.
- $M{\ddot x}+b{\dot x}+kx=0$
- Il s'agit toujours d'une équation à coefficient constant linéaire du second ordre, nous utilisons donc les méthodes habituelles.
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Résoudre l'équation du mouvement.
- Mettre en place l'équation caractéristique.
  - $Monsieur^{{2}}+br+k=0$
- Résoudre l'équation caractéristique. Utilisez la formule quadratique.
  - $R={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{{2}}-4mk}}}{2m}}$
- Par conséquent, la solution générale de l'équation différentielle de l'oscillation harmonique amortie est la suivante, où nous factorisons un e−b2mt.{\displaystyle e^{{\frac {-b}{2m}}t}.} $E^{{{\frac {-b}{2m}}t}}.$
  - $X(t)=e^{{{\frac {-b}{2m}}t}}\left(c_{{1}}e^{{{\frac {{\sqrt {b^{{2} }-4mk}}}{2m}}t}}+c_{{2}}e^{{{\frac {-{\sqrt {b^{{2}}-4mk}}}{2m}}t }}\droite)$
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Parcourez les trois cas. Les trois cas dépendent de la valeur de la valeur dans l'exposant, qui à son tour dépend du discriminant b2−4mk.{\displaystyle b^{2}-4mk.} $B^{{2}}-4mk.$
- b2−4mk>0{\displaystyle b^{2}-4mk>0} $B^{{2}}-4mk>0$
  - Lorsque le discriminant est positif, alors la solution est simplement une somme de deux fonctions exponentielles décroissantes. C'est ce qu'on appelle un système suramorti. Parce que cela ne décrit pas un oscillateur harmonique, nous ne sommes pas intéressés par ce cas.
- b2−4mk=0{\displaystyle b^{2}-4mk=0} $B^{{2}}-4mk=0$
  - Lorsque le discriminant est 0, alors la solution est une fonction exponentielle décroissante $(c_{{1}}t+c_{{2}})e^{{{\frac {-b}{2m}}t}}.$ C'est ce qu'on appelle un système à amortissement critique. Une masse sur un ressort dans un système à amortissement critique revient à l'équilibre le plus rapidement possible et n'oscille pas, nous ne sommes donc pas non plus intéressés par ce cas.
- b2−4mk<0{\displaystyle b^{2}-4mk<0} $B^{{2}}-4mk<0$
  - Lorsque le discriminant est négatif, alors la solution fait intervenir des exposants imaginaires. C'est ce qu'on appelle un système sous-amorti, et la masse oscille.
Partie 1 sur 2: oscillateur harmonique simple.
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Simplifier. Puisque dans le cas sous-amorti, les racines sont des nombres complexes, nous pouvons utiliser la formule d'Euler pour écrire la solution en termes de sinus et de cosinus. Notez le changement de signe dans la racine carrée.
- $X(t)=e^{{-b/2m}}\left(c_{{1}}\cos \left({\frac {{\sqrt {4mk-b^{{2}}}}}{ 2m}}\,t\right)+c_{{2}}\sin \left({\frac {{\sqrt {4mk-b^{{2}}}}}{2m}}\,t\right)\droite)$
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Réécrivez la solution en termes de temps de décroissance τ{\displaystyle \tau } $\tau$ et de fréquence angulaire amortie ωd{\displaystyle \omega _{d}} $\omega _{{d}}$ .
- Le temps de décroissance $\tau = 2m/b$ est le temps qu'il faut pour que l'amplitude du système diminue à $1/e$ de l'amplitude initiale.
- La fréquence angulaire amortie concerne à la fois la fréquence angulaire (d'un oscillateur non amorti correspondant) et le temps de décroissance de la manière suivante, où nous amenons le 2m{\displaystyle 2m} $2m$ à l'intérieur de la racine carrée.
  - ${\begin{aligned}\omega _{{d}}and={\sqrt {{\frac {4mk-b^{{2}}}{4m^{{2}}}}}}\\and= {\sqrt {\omega _{{0}}^{{2}}-{\frac {1}{\tau ^{{2}}}}}}\end{aligned}}$
- A partir des résultats précédents, nous pouvons donc écrire l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti comme suit, où A{\displaystyle A} $UNE$ est l'amplitude initiale et ϕ{\displaystyle \phi } $\phi$ est le facteur de phase, tous deux dépendant des conditions initiales.
  - $X(t)=ae^{{-t/\tau }}\cos(\omega _{{d}}t+\phi)$
- On voit ici que l'équation du mouvement décrit un système oscillant, dont l'enveloppe est une fonction exponentielle décroissante. La vitesse à laquelle la fonction décroît et la fréquence à laquelle elle oscille dépendent toutes des paramètres du système et doivent être déterminées expérimentalement.