Comment dériver l'effet phare en relativité restreinte?
Cet effet postule qu'une source de lumière en mouvement a ses faisceaux lumineux concentrés vers la direction du mouvement, et donc un observateur dans le cadre de référence de la source observe un champ de vision plus large.
L'effet phare est l'une des conséquences les moins intuitives de la relativité restreinte d'Einstein. Cet effet postule qu'une source de lumière en mouvement a ses faisceaux lumineux concentrés vers la direction du mouvement, et donc un observateur dans le cadre de référence de la source observe un champ de vision plus large.
Cet article fonctionnera en 2+1 dimensions pour la simplicité des calculs.
Partie 1 sur 2: dérivation
- 1Définir 4-momentum. 4-momentum P{\displaystyle P} est l'analogue relativiste du moment linéaire en mécanique newtonienne, amélioré pour inclure une composante temporelle supplémentaire. Cette composante temporelle décrit l'énergie, donc 4-momentum unifie la quantité de mouvement linéaire et l'énergie en un seul objet mathématique. Ci-dessous, nous écrivons 4-momentum en tant que vecteur de ligne pour économiser de l'espace, même s'il doit être considéré comme un vecteur de colonne.
- P=(Ec,px,py){\displaystyle P=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y}\right)}
Solution: utiliser la formule effet phare pour obtenir les angles qui nous intéressent. - 2Considérons une source lumineuse émettant dans toutes les directions. Le 4-momentum d'un photon à partir du repère de repos de la source dépend alors de l'angle par rapport à la vitesse de la source v,{\displaystyle v,} que nous dirons points dans la direction +x{\displaystyle +x} . Ci-dessous, nous supposons que tous les photons sont émis avec la même énergie.
- P=(Ec,Eccosθ,Ecsinθ){\displaystyle P=\left({\ frac {E}{c}},{\frac {E}{c}}\cos \theta,{\frac {E}{c}}\sin \theta \right)}
- Essayez de ne pas vous laisser décourager par les constantes c{\displaystyle c} - considérez-les moins comme des constantes et plus comme des facteurs de conversion d'unités.
- 3Lorentz booste le cadre de coordonnées. C'est la trame se déplaçant dans la direction −x{\displaystyle -x} par rapport à la source. Le résultat de cette signalisation est que nous avons des quantités positives sur le hors-diagonale de la transformation de Lorentz. Notez que nous désignons des nombres premiers pour le cadre de coordonnées, pas le cadre en mouvement.
- (E′cE′ccosθ′E′csinθ′)=(γγβ0γβγ0001)(EcEccosθEcsinθ){\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {E^{\prime }}{c} }\\{\frac {E^{\prime }}{c}}\cos \theta ^{\prime }\\{\frac {E^{\prime }}{c}}\sin \theta ^{ \prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\gamma \beta &0\\\gamma \beta &\gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{ \frac {E}{c}}\\{\frac {E}{c}}\cos \theta \\{\ frac {E}{c}}\sin \theta \end{pmatrix}}}
- Ci-dessus, β=vc{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} et γ=11−v2c2,{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},} le facteur de Lorentz.
Une source lumineuse se déplaçant à émet des photons à des angles de - en d'autres termes, directement au-dessus et au-dessous. - 4Résoudre l'énergie dans le cadre de coordonnées. L'équation matricielle ci-dessus est un système d'équations linéaires. Le troisième est trivial et ne nous apprend rien de nouveau.
- E′c=γEc+γβEccosθE′=γE(1+βcosθ){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E^{\prime }}{c}}&=\gamma {\frac {E}{c}}+\gamma \beta {\frac {E}{c}}\cos \theta \\E^{\prime }&=\gamma E\left(1+\beta \cos \theta \right)\end{aligned}}}
- 5Résoudre l'angle dans le cadre de coordonnées. Le résultat final de la dérivation est une transformation d'angle qui ressemble un peu à l'addition de la formule des vitesses.
- E′ccosθ′=γβEc+γEccosθγEc(1+βcosθ)cosθ′=γEc(β+cosθ)cosθ′=β+cosθ1+βcosθ{\displaystyle { \begin{aligned}{\frac {E^{\prime }}{c}}\cos \theta ^{\prime }&=\gamma \beta {\frac {E}{c}}+\gamma {\ frac {E}{c}}\cos \theta \\{\frac {\gamma E}{c}}\left(1+\beta \cos \theta \right)\cos \theta ^{\ prime }& ={\frac {\gamma E}{c}}\ gauche (\beta +\cos \theta \right)\\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {\beta +\cos \theta }{1+\beta \cos \theta }}\end{aligned}}}
- C'est l' effet phare.
L'effet phare est l'une des conséquences les moins intuitives de la relativité restreinte d'Einstein. - 6Visualisez l'effet phare. En raison de son caractère non intuitif, un visuel a été inséré au-dessus tel qu'il est vu à partir du référentiel de coordonnées.
- Les lignes verticales sont le résultat des transformations d'angle. En supposant une vision à 180 degrés, nous pouvons voir qu'un observateur se déplaçant à une vitesse relativiste peut également voir légèrement derrière elle.
- La couleur dénote l'effet Doppler relativiste. Nous pouvons voir que la vue de l'observateur devant elle s'est décalée vers le bleu et que la vue du décalage vers le bleu devient plus concentrée près du centre de son champ de vision. À des vitesses suffisamment rapides, elle peut voir l'infrarouge décalé vers le bleu, et même les ondes micro-ondes et radio, comme de la lumière visible.
- A droite, la vue d'un tunnel depuis son référentiel. Au fur et à mesure qu'elle se déplace plus vite, il semblera qu'elle recule au début, mais ce n'est pas le cas - son champ de vision s'élargit en fait. Sa vue passe également progressivement au bleu devant elle et au rouge derrière elle, correspondant au cône de rétrécissement de la première animation. Rappelez-vous, dans son cadre de référence, elle ne bouge pas, mais tout le reste le fait.
- Il convient également de noter la façon dont le tunnel se déforme progressivement. C'est une conséquence de la relativité de la simultanéité. En mécanique newtonienne, on suppose qu'un observateur voit le haut et le bas d'un mur en même temps, donc les lignes verticales sont droites. Ce n'est pas le cas en relativité restreinte. En raison de la vitesse finie de la lumière, la lumière près du milieu l'atteint avant la lumière en haut et en bas, de sorte que le tunnel apparaît de forme convexe.
Partie 2 sur 2: exemple
- 1Considérez le problème. Une source lumineuse se déplaçant à β=35{\displaystyle \beta ={\frac {3}{5}}} émet des photons à des angles de θ=±π2{\displaystyle \theta =\pm {\frac {\pi }{ 2}}} - en d'autres termes, directement au-dessus et au-dessous. Quels sont les angles par rapport à la direction de la vitesse dans le repère de coordonnées?
- Solution: utilisez la formule de l'effet phare pour obtenir les angles qui nous intéressent. Observez que les angles se transformeront de la même manière dans les deux sens.
- cosθ′=β+cosθ1+βcosθcosθ′=35+cosπ21+35cosπ2cosθ′=35θ′≈±53,13∘{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta ^{\prime }&={\frac {\beta +\cos \theta }{1+\beta \cos \theta }}\\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {{ \frac {3}{5}}+\cos {\frac {\pi }{2}}}{1+{\frac {3}{5}}\cos {\frac {\pi }{2}} }}\\\cos \theta ^{\prime }&={\frac {3}{5}}\\\theta ^{\prime }&\approx \pm 53,13^{\circ }\end{ aligné}}}
- Solution: utilisez la formule de l'effet phare pour obtenir les angles qui nous intéressent. Observez que les angles se transformeront de la même manière dans les deux sens.
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En parallèle
