Comment montrer l'invariance de l'espace-temps?
Dans l'univers physique, les emplacements dans l'espace-temps sont appelés événements; un événement est spécifié un emplacement dans l'espace tridimensionnel et un point dans le temps. La distance entre deux événements est appelée l'intervalle d'espace-temps. En relativité restreinte, l'intervalle d'espace-temps est une quantité invariante. En d'autres termes, un observateur le mesurera toujours pour qu'il soit le même, quel que soit son référentiel. Ci-dessous, nous définissons l'intervalle d'espace-temps en utilisant la convention temporelle - la convention où deux événements sont liés de manière causale.
s2=(cΔt)2−(Δx)2{\displaystyle s^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}
(La convention de type espace inverse simplement les signes pour que le négatif soit sur la composante temporelle. Les deux conventions sont largement utilisées, alors assurez-vous d'être cohérent et de reconnaître les conventions des autres auteurs.)
Cet intervalle est similaire au théorème de Pythagore qui relie les côtés d'un triangle rectangle, mais avec un changement de signe crucial. Ceci souligne le fait que nous ne travaillons pas dans l'espace euclidien, mais plutôt dans l'espace-temps de Minkowski, et que les distances ne sont pas basées sur le cercle unité, mais plutôt sur l'hyperbole unité.
Nous vérifions que l'invariance de l'intervalle d'espace-temps est une conséquence directe des transformations de Lorentz, qui sont elles-mêmes une conséquence directe des postulats de la relativité restreinte. L'entrelacement entre l'espace et le temps tel qu'on le voit dans ces transformations nous oblige à repenser fondamentalement ces concepts - d'une part, les horloges ne mesurent pas le temps, mais plutôt l'intervalle d'espace-temps sur lequel elles traversent.
- 1Commencez par l'intervalle d'espace-temps dans le cadre amplifié. Nous considérons deux cadres de référence - un cadre de coordonnées stationnaire et un cadre "renforcé" qui se déplace à une certaine vitesse par rapport à nous. Nous utilisons des nombres premiers pour désigner les quantités mesurées dans le cadre amplifié.
- (cΔt′)2−(Δx′)2{\displaystyle (c\Delta t^{\prime })^{2}-(\Delta x^{\prime })^{2}}
- 2Rappelez-vous les transformations de Lorentz. Pour simplifier, nous traiterons des dimensions 1+1 au lieu de 3+1, car les grandeurs perpendiculaires à la direction du boost sont inchangées. Ci-dessous, γ=11−v2c2{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} est le Lorentz factor et β=vc{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} est la vitesse en termes de vitesse de la lumière. Cette écriture des transformations met en lumière la symétrie de l'espace et du temps.
- Δx′=γ(Δx−βcΔt){\displaystyle \Delta x^{\prime }=\gamma (\Delta x-\beta c\Delta t)}
- cΔt′=γ(cΔt−βΔx){\displaystyle c\Delta t^{\prime }=\gamma (c\Delta t-\beta \Delta x)}
- 3Remplacez ces expressions dans l'intervalle d'espace-temps.
- (γ(cΔt−βΔx))2−(γ(Δx−βcΔt))2{\displaystyle (\gamma (c\Delta t-\beta \Delta x))^{2}-(\gamma (\Delta x -\beta c\Delta t))^{2}}
- 4Simplifiez l'expression résultante. Factorisez le γ2{\displaystyle \gamma ^{2}} et développez. Annulez les termes similaires et récupérez les 1−β2{\displaystyle 1-\beta ^{2}} attachés à la fois à (cΔt)2{\displaystyle (c\Delta t)^{2}} et (Δx)2.{\ style d'affichage (\Delta x)^{2}.}
γ2[(cΔt)2−2cΔtβΔx+β2(Δx)2−((Δx)2−2ΔxβcΔt+β2(cΔt)2)]=γ2[(cΔt)2+β2(Δx)2−(Δx)2−β2 (cΔt)2)]=γ2[(cΔt)2(1−β2)−(Δx)2(1−β2)]=γ2(1−β2)[(cΔt)2−(Δx)2]{\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma ^{2}[(c\Delta t)^{2}-2c\Delta t\beta \Delta x+\beta ^{2}(\Delta x)^{2}- ((\Delta x)^{2}-2\Delta x\beta c\Delta t+\beta ^{2}(c\Delta t)^{2})]\\=\;&\gamma ^{2 }[(c\Delta t)^{2}+\beta ^{2}(\Delta x)^{2}-(\Delta x)^{2}-\beta ^{2}(c\Delta t)^{2})]\\=\;&\gamma ^{2}[(c\Delta t)^{2}(1-\beta ^{2})-(\Delta x)^{2} (1-\beta ^{2})]\\=\;&\gamma ^{2}(1-\beta ^{2})[(c\Delta t)^{2}-(\Delta x) ^{2}]\end{aligned}}} - 5Reliez γ2{\displaystyle \gamma ^{2}} avec β2{\displaystyle \beta ^{2}} .
- Rappelons que γ=11−v2c2.{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.} Ceci peut également être écrit comme γ=11−β2.{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}
- Maintenant, nous équerrons les deux côtés.
- γ2=11−β2{\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-\beta ^{2}}}}
- Ici, il est évident que γ2(1−β2)=1{\displaystyle \gamma ^{2}(1-\beta ^{2})=1} est une identité, et donc s'annule. Puisque notre résultat final est indépendant de la vitesse du référentiel stimulé, nous avons montré que l'intervalle espace-temps est mesuré comme étant le même dans n'importe quel référentiel inertiel. Notez que cela ne s'applique pas aux cadres accélérés ou aux scénarios où la gravité est non négligeable.
- (cΔt′)2−(Δx′)2=(cΔt)2−(Δx)2{\displaystyle (c\Delta t^{\prime })^{2}-(\Delta x^{\prime }) ^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}
![{\begin{aligned}et\gamma ^{{2}}[(c\delta t)^{{2}}-2c\delta t\beta \delta x+\beta ^{{2}}(\delta x)^{{2}}-((\delta x)^{{2}}-2\delta x\beta c\delta t+\beta ^{{2}}(c\delta t)^{{2} })]\\=\;et\gamma ^{{2}}[(c\delta t)^{{2}}+\beta ^{{2}}(\delta x)^{{2}} -(\delta x)^{{2}}-\beta ^{{2}}(c\delta t)^{{2}})]\\=\;et\gamma ^{{2}}[(c\delta t)^{{2}}(1-\beta ^{{2}})-(\delta x)^{{2}}(1-\beta ^{{2}})]\ \=\;et\gamma ^{{2}}(1-\beta ^{{2}})[(c\delta t)^{{2}}-(\delta x)^{{2}}]\end{aligné}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bd86d22fda91af413c675069af8bffe9ed05eb)
