Comment trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers?
Le dernier diviseur est le plus grand diviseur commun.
Le plus grand diviseur commun (GCD) de deux nombres entiers, également appelé le plus grand facteur commun (GCF) et le plus grand facteur commun (HCF), est le plus grand nombre entier qui est un diviseur (facteur) des deux. Par exemple, le plus grand nombre qui se divise en 20 et 16 est 4. (Les 16 et 20 ont des facteurs plus grands, mais pas de facteurs communs plus grands - par exemple, 8 est un facteur de 16, mais ce n'est pas un facteur de 20.) À l'école primaire, la plupart des gens apprennent une méthode de «deviner et vérifier» pour trouver le GCD. Au lieu de cela, il existe un moyen simple et systématique de le faire qui mène toujours à la bonne réponse. La méthode est appelée "algorithme d'Euclide". Si vous voulez savoir comment vraiment trouver le plus grand diviseur commun de deux entiers, consultez l'étape 1 pour commencer.
Méthode 1 sur 2: en utilisant l'algorithme du diviseur
- 1Laissez tomber tous les signes négatifs.
- 2Connaissez votre vocabulaire: quand vous divisez 32 par 5,
- 32 est le dividende
- 5 est le diviseur
- 6 est le quotient
- 2 est le reste (ou modulo).
- 3Identifiez le plus grand des deux nombres. Ce sera le dividende, et plus le diviseur est petit.
- 4Écrivez cet algorithme: (dividende) = (diviseur) * (quotient) + (reste)
- 5Mettez le plus grand nombre à l'endroit pour le dividende et le plus petit comme diviseur.
- 6Décidez combien de fois le plus petit nombre se divisera en un plus grand nombre et déposez-le dans l'algorithme en tant que quotient.
- 7Calculez le reste et remplacez-le à l'endroit approprié dans l'algorithme.
- 8Écrivez à nouveau l'algorithme, mais cette fois A) utilisez l'ancien diviseur comme nouveau dividende et B) utilisez le reste comme nouveau diviseur.
- 9Répétez l'étape précédente jusqu'à ce que le reste soit nul.
- 10Le dernier diviseur est le plus grand diviseur commun.
- 11Voici un exemple, où nous essayons de trouver le PGCD de 108 et 30:
- 12Remarquez comment le 30 et le 18 dans la première ligne se déplacent pour créer la deuxième ligne. Ensuite, le décalage 18 et 12 pour créer la troisième ligne, et le décalage 12 et 6 pour créer la quatrième ligne. Les 3, 1, 1 et 2 qui suivent le symbole de multiplication ne réapparaissent pas. Ils représentent le nombre de fois où le diviseur entre dans le dividende, ils sont donc uniques à chaque ligne.
Dans l'exemple ci-dessus, la fraction -70 781 se réduit à -113 car 7 est le plus grand commun diviseur de -77 et 91.
Méthode 2 sur 2: en utilisant des facteurs premiers
- 1Laissez tomber tous les signes négatifs.
- 2Trouvez la factorisation première des nombres et énumérez-les comme indiqué.
- En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
- 24- 2x2x2x3
- 18- 2x3x3
- En utilisant 50 et 35 comme exemples de nombres:
- 50- 2x5x5
- 35- 5 x 7
- En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
- 3Identifiez tous les facteurs premiers communs.
- En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
- 24- 2 x 2 x 2 x 3
- 18- 2 x 3 x 3
- En utilisant 50 et 35 comme exemples de nombres:
- 50- 2 x 5 x 5
- 35- 5 x 7
- En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
- 4Multipliez les facteurs communs entre eux.
- Dans le cas de 24 et 18, multipliez 2 et 3 ensemble pour obtenir 6. Six est le plus grand facteur commun de 24 et 18.
- Dans le cas de 50 et 35, il n'y a rien à multiplier. 5 est le seul facteur commun, et donc le plus grand.
- 5Fini.
Les mathématiciens disent souvent que le plus grand diviseur commun de 0 et 0 est 0, et c'est la réponse que donne cette méthode.
- Une façon d'écrire cela, en utilisant la notation <dividende> mod <diviseur> = le reste est que PGCD(a,b) = b si un mod b = 0, et PGCD(a,b) = PGCD(b, un mod b) sinon.
- A titre d'exemple, trouvons GCD(-7791). Tout d'abord, utilisez 77 au lieu de -77, de sorte que PGCD(-7791) devienne PGCD(7791). Maintenant, 77 est inférieur à 91, nous devrions donc les échanger, mais voyons comment l'algorithme s'en occupe si nous ne le faisons pas. Quand on calcule 77 mod 91, on obtient 77 (puisque 77 = 91 x 0 + 77). Comme ce n'est pas zéro, on change (a, b) pour (b, a mod b) et cela nous donne: PGCD(7791) = PGCD(9177). 91 mod 77 donne 14 (rappelez - vous, cela signifie que 14 est le reste). Comme ce n'est pas zéro, remplacez GCD(9177) par GCD(7714). 77 mod 14 donne 7 qui n'est pas zéro, alors échangez GCD(7714) pour GCD(147). 14 mod 7 est nul, puisque 14 = 7 * 2 sans reste, donc on s'arrête. Et cela signifie: PGCD(-7791) = 7.
- Cette technique est très utile lors de la réduction des fractions. Dans l'exemple ci-dessus, la fraction -70 781 se réduit à -113 car 7 est le plus grand commun diviseur de -77 et 91.
- Si 'a' et 'b' sont tous les deux nuls, alors tout nombre différent de zéro les divise tous les deux, il n'y a donc techniquement pas de plus grand diviseur commun dans ce cas. Les mathématiciens disent souvent que le plus grand diviseur commun de 0 et 0 est 0, et c'est la réponse que donne cette méthode.
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Questions et réponses
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